Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(x)=3 x^{2}-2 \cos x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a função f(x)=3x^{2}-2\cos x.
  • O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou seja, f'(x)) desta função.

Passo 2

Significado de derivada e notação (rápida e prática):
  • A derivada de uma função em cada ponto dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto; em provas costuma pedir a expressão da derivada como função de x.
  • Notações comuns: \dfrac{dy}{dx}, f'(x). Aqui usaremos f'(x).
  • Vamos aplicar regras básicas de diferenciação termo a termo (linearidade): a derivada da soma/subtração é a soma/subtração das derivadas.

Passo 3

Regras que vamos usar (com explicação):
  1. Regra da soma/constante: Se g(x)=a(x)+b(x) então g'(x)=a'(x)+b'(x). Ou seja, pode derivar cada parcela separadamente.
  2. Regra do fator constante: Se h(x)=c\cdot u(x) com c constante, então h'(x)=c\cdot u'(x). Ou seja, pode puxar constantes para fora da derivada.
  3. Regra do poder (power rule): Para u(x)=x^{n} com n número real, vale
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente; por exemplo, para x^{2} n=2 e a derivada é 2x.
4) Derivada da função trigonométrica cosseno:
\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Isto é um resultado padrão: a derivada de \cos x é -\sin x.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo na função f(x)=3x^{2}-2\cos x:
  • Primeiro termo: 3x^{2}.
    Usando a regra do fator constante e a regra do poder:
    \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=3\cdot(2x)=6x.
    Aqui usei que \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Segundo termo: -2\cos x.
    Usando fator constante e a derivada do cosseno:
    \frac{d}{dx}\bigl(-2\cos x\bigr)=-2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)=-2\cdot(-\sin x)=2\sin x.
    Observe a dupla negativa: o coeficiente -2 vezes o -\sin x resulta em +2\sin x.

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos (pela linearidade):
f'(x)=6x+2\sin x.
Força aí — na prova: derive termo a termo, aplique power rule e lembre que \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x. Se repetir esse padrão algumas vezes vira automático.

Resposta

f'(x)=6x+2\sin x

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