Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
\quad x e^{y}+y \ln (x)=1\

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x e^{y} + y \ln(x) = 1
O que se pede: calcular \dfrac{d y}{d x} (a derivada de y em relação a x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável y é função de x (ou seja, y=y(x)); portanto, ao derivar termos que envolvem y em relação a x será necessário usar a regra da cadeia.
  • Há produtos de funções ( x\cdot e^{y} e y\cdot \ln(x)), então será preciso aplicar a regra do produto.

Passo 2

Relembre as regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções de x, então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
Aqui u' significa \dfrac{du}{dx} e v' significa \dfrac{dv}{dx}.
  • Regra da cadeia: se g(x)=f(h(x)), então
g'(x)=f'(h(x))\cdot h'(x).
No nosso caso, para e^{y(x)} vale \dfrac{d}{dx}e^{y}=e^{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}.
  • Derivada do logaritmo: para x>0,
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Diferencie ambos os lados da equação \;x e^{y}+y\ln(x)=1\; em relação a x. A derivada do lado direito (constante) é 0:
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{y}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y\ln(x)\bigr)=0.

Passo 4

Derivada do primeiro termo \;x e^{y}\; (aplicando a regra do produto):
  • Tome u(x)=x e v(x)=e^{y(x)}.
  • u'(x)=1.
  • v'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{y}=e^{y}\cdot\dfrac{dy}{dx} (regra da cadeia).
    Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{y}\bigr)=1\cdot e^{y}+x\cdot\bigl(e^{y}\cdot\tfrac{dy}{dx}\bigr)=e^{y}+x e^{y}\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Derivada do segundo termo \;y\ln(x)\; (também produto):
  • Tome u(x)=y(x) e v(x)=\ln(x).
  • u'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
  • v'(x)=\dfrac{1}{x}.
    Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(y\ln(x)\bigr)=y\cdot\frac{1}{x}+\ln(x)\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\ln(x)\frac{dy}{dx}.

Passo 6

Juntando as derivações dos dois termos e igualando a zero:
\bigl(e^{y}+x e^{y}\frac{dy}{dx}\bigr)+\bigl(\frac{y}{x}+\ln(x)\frac{dy}{dx}\bigr)=0.
Agrupando os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} e os que não contêm:
\bigl(x e^{y}+\ln(x)\bigr)\frac{dy}{dx}+e^{y}+\frac{y}{x}=0.

Passo 7

Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\bigl(x e^{y}+\ln(x)\bigr)\frac{dy}{dx}=-\left(e^{y}+\frac{y}{x}\right).
Logo
\frac{dy}{dx}=-\frac{e^{y}+\dfrac{y}{x}}{x e^{y}+\ln(x)}.

Passo 8

Se preferir uma forma sem fração dentro da fração, multiplicar numerador e denominador por x (válido desde que x\neq0) dá:
\frac{dy}{dx}=-\frac{x e^{y}+y}{x\bigl(x e^{y}+\ln(x)\bigr)}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{e^{y}+\dfrac{y}{x}}{x e^{y}+\ln(x)}

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