Calcule as derivadas
das equações a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
O que se pede: calcular
(a derivada de
em relação a
).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável
é função de (ou seja, ); portanto, ao derivar termos que envolvem em relação a será necessário usar a regra da cadeia. - Há produtos de funções (
e ), então será preciso aplicar a regra do produto.
Passo 2
Relembre as regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
e são funções de , então
Aqui
significa
e
significa
.
- Regra da cadeia: se
, então
No nosso caso, para
vale
.
- Derivada do logaritmo: para
,
Passo 3
Diferencie ambos os lados da equação
em relação a
. A derivada do lado direito (constante) é
:
Passo 4
Derivada do primeiro termo
(aplicando a regra do produto):
- Tome
e . -
. -
(regra da cadeia).
Portanto
Passo 5
Derivada do segundo termo
(também produto):
- Tome
e . -
. -
.
Portanto
Passo 6
Juntando as derivações dos dois termos e igualando a zero:
Agrupando os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 7
Isolando
:
Logo
Passo 8
Se preferir uma forma sem fração dentro da fração, multiplicar numerador e denominador por
(válido desde que
) dá: