Encontre até a derivada de ordem 3 das funções abaixo:
\mathrm{y}=x^{4}-3 x^{-3}

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{y}=x^{4}-3 x^{-3} e pede para encontrar as derivadas de ordem 1, 2 e 3 (ou seja, \mathrm{y}', \mathrm{y}'' e \mathrm{y}'''). Informações relevantes que temos:
  • A função é dada termo a termo: primeiro termo \,x^{4}\, e segundo termo \,-3x^{-3}.
  • Há um coeficiente constante -3 multiplicando x^{-3}.
  • Os expoentes incluem um inteiro positivo ( 4) e um inteiro negativo ( -3).
    Nada mais será assumido aqui — a partir disso vamos derivar passo a passo.

Passo 2

Relembrando as regras básicas de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade (soma/diferença): a derivada do somatório é a soma das derivadas. Em símbolos: \dfrac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=\dfrac{d}{dx}f(x)+\dfrac{d}{dx}g(x).
  • Regra da constante por função: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Em símbolos: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot \dfrac{d}{dx}f(x), onde c é constante.
  • Regra da potência (power rule): para qualquer número real n, \dfrac{d}{dx}\,x^{n}=n\,x^{n-1}. Isso vale também para expoentes negativos (por exemplo, n=-3).
Comentário intuitivo rápido sobre a regra da potência: multiplicar por n e diminuir o expoente em 1. Ex.: derivar x^{4} 4x^{3}; derivar x^{-3} -3x^{-4}.

Passo 3

Calcular a primeira derivada termo a termo usando as regras acima.
Derivada do primeiro termo \,x^{4}:
\dfrac{d}{dx}\,x^{4}=4x^{3}.
Derivada do segundo termo \,-3x^{-3}: aplicamos a regra da constante e a regra da potência.
Primeiro derivamos x^{-3}:
\dfrac{d}{dx}\,x^{-3}=-3x^{-4}.
Multiplicando pelo coeficiente -3:
\dfrac{d}{dx}\,-3x^{-3} = -3\cdot\big(-3x^{-4}\big)=9x^{-4}.
Somando os dois resultados (linearidade):
\mathrm{y}'=4x^{3}+9x^{-4}.
Opcionalmente, pode-se escrever \mathrm{y}'=4x^{3}+\dfrac{9}{x^{4}}.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada, derivando \mathrm{y}' termo a termo.
Derivada de 4x^{3}:
\dfrac{d}{dx}\,4x^{3}=4\cdot 3x^{2}=12x^{2}.
Derivada de 9x^{-4}:
\dfrac{d}{dx}\,9x^{-4}=9\cdot(-4)x^{-5}=-36x^{-5}.
Somando:
\mathrm{y}''=12x^{2}-36x^{-5}.
Também dá para escrever \mathrm{y}''=12x^{2}-\dfrac{36}{x^{5}}.

Passo 5

Agora a terceira derivada: derivamos \mathrm{y}'' termo a termo.
Derivada de 12x^{2}:
\dfrac{d}{dx}\,12x^{2}=12\cdot 2x^{1}=24x.
Derivada de -36x^{-5}:
\dfrac{d}{dx}\,-36x^{-5}=-36\cdot(-5)x^{-6}=180x^{-6}.
Somando:
\mathrm{y}'''=24x+180x^{-6}.
Ou, de forma alternativa, \mathrm{y}'''=24x+\dfrac{180}{x^{6}}.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova (rápidas e práticas):
  • Em cada derivação de potências, multiplicar o coeficiente atual pelo expoente e subtrair 1 do expoente; isso é repetido a cada ordem de derivada.
  • Como aparecem potências negativas, atenção ao domínio: as expressões com x^{-k} só são definidas para x\neq 0. Logo essas derivadas valem para x\neq 0.
  • Exemplo rápido extras para fixar: se f(x)=2x^{5} então f'(x)=10x^{4}, f''(x)=40x^{3}, f'''(x)=120x^{2}. Repare no padrão de multiplicações sucessivas dos expoentes.

Resposta

\mathrm{y}'=4x^{3}+9x^{-4}
\mathrm{y}''=12x^{2}-36x^{-5}
\mathrm{y}'''=24x+180x^{-6}

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