Encontre até a derivada de ordem 3 das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as derivadas de ordem
,
e
(ou seja,
,
e
). Informações relevantes que temos:
- A função é dada termo a termo: primeiro termo
e segundo termo . - Há um coeficiente constante
multiplicando . - Os expoentes incluem um inteiro positivo (
) e um inteiro negativo ( ).
Nada mais será assumido aqui — a partir disso vamos derivar passo a passo.
Passo 2
Relembrando as regras básicas de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade (soma/diferença): a derivada do somatório é a soma das derivadas. Em símbolos:
. - Regra da constante por função: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Em símbolos:
, onde é constante. - Regra da potência (power rule): para qualquer número real
, . Isso vale também para expoentes negativos (por exemplo, ).
Comentário intuitivo rápido sobre a regra da potência: multiplicar por
e diminuir o expoente em
. Ex.: derivar
dá
; derivar
dá
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada termo a termo usando as regras acima.
Derivada do primeiro termo
:
Derivada do segundo termo
: aplicamos a regra da constante e a regra da potência.
Primeiro derivamos :
Primeiro derivamos
Multiplicando pelo coeficiente
:
Somando os dois resultados (linearidade):
Opcionalmente, pode-se escrever
.
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada, derivando
termo a termo.
Derivada de
:
Derivada de
:
Somando:
Também dá para escrever
.
Passo 5
Agora a terceira derivada: derivamos
termo a termo.
Derivada de
:
Derivada de
:
Somando:
Ou, de forma alternativa,
.
Passo 6
Observações finais úteis para a prova (rápidas e práticas):
- Em cada derivação de potências, multiplicar o coeficiente atual pelo expoente e subtrair
do expoente; isso é repetido a cada ordem de derivada. - Como aparecem potências negativas, atenção ao domínio: as expressões com
só são definidas para . Logo essas derivadas valem para . - Exemplo rápido extras para fixar: se
então , , . Repare no padrão de multiplicações sucessivas dos expoentes.