Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x) = cos(3x) / (1 + tg(3x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de técnicas de derivação. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Quociente, a Regra da Cadeia e saber derivar funções trigonométricas como cosseno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se você tem uma função na forma , a derivada dela é:
Aqui, e . Vamos precisar derivar e separadamente.

Passo 3

Vamos derivar . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, porque temos uma função composta (coseno de ).
A derivada de é . Então:
Agora, vamos derivar . A derivada de é . Então:

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Vamos expandir o numerador:
Simplificando termos:
Sabemos que e , então substituindo:
Simplificando mais:
Podemos fatorar e colocar tudo sobre o mesmo denominador:

Resposta

Então, a derivada da função é:

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