Calcule as derivadas das seguintes funções.
(\mathbf{1 . 0}) f(x)=\frac{3 x}{2+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{3x}{2+\sqrt{x}}.
O conteúdo aqui é derivação de quociente, ou seja, vamos usar a regra
\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)'=\frac{u'v - u\,v'}{v^2}.

Passo 2

Definimos as funções
u(x)=3x \quad\text{e}\quad v(x)=2+\sqrt{x}.
Logo,
u'(x)=3 \quad\text{e}\quad v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, temos
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{3\,(2+\sqrt{x})-3x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(2+\sqrt{x})^2}.

Passo 4

Primeiro note que
3x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{3}{2}\,\sqrt{x}.
Então o numerador fica
3(2+\sqrt{x})-\frac{3}{2}\sqrt{x} =6+3\sqrt{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x} =6+\frac{3}{2}\sqrt{x}.
Portanto,
f'(x) =\frac{6+\tfrac{3}{2}\sqrt{x}}{(2+\sqrt{x})^2}.
Multiplicando numerador e denominador por 2, obtemos a forma simplificada
f'(x) =\frac{3(4+\sqrt{x})}{2\,(2+\sqrt{x})^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{3\,(4+\sqrt{x})}{2\,(2+\sqrt{x})^2}.

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