Questão 5. (1.0) Use integração por partes para calcular \int(1-x) \operatorname{sen}(3 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (1 - x)\,\sin(3x)\,dx
usando o método de integração por partes. Para isso, vamos escolher funções u e dv de modo a simplificar a integral remanescente após a aplicação da fórmula.

Passo 2

Definimos
u = 1 - x, \quad dv = \sin(3x)\,dx.
O objetivo é obter du e v.

Passo 3

Derivando u e integrando dv, temos
du = -\,dx, \quad v = \int \sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x).

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v \;-\;\int v\,du
obtém-se
\int (1-x)\sin(3x)\,dx = (1 - x)\Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\Bigr) \;-\;\int \Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\Bigr)\,(-dx).
Isso simplifica para
-\frac{1-x}{3}\cos(3x) \;-\;\frac{1}{3}\int \cos(3x)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos
\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x).

Passo 6

Substituindo na expressão anterior e reunindo termos, fica
-\frac{1-x}{3}\cos(3x) \;-\;\frac{1}{3}\,\Bigl(\frac{1}{3}\sin(3x)\Bigr) + C = -\frac{1-x}{3}\cos(3x) -\frac{1}{9}\sin(3x) + C.

Resposta

\boxed{ -\frac{1 - x}{3}\cos(3x) -\frac{1}{9}\sin(3x) + C }

Exercícios relacionados