Calcule as derivadas das seguintes funções.
\mathrm{g}(x)=\ln (\ln \operatorname{sec} 2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
\mathrm{g}(x)=\ln\big(\ln(\operatorname{sec}(2x))\big).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é uma composição de várias funções: há um log natural exterior \ln(\cdot), outro \ln(\cdot) interno, a função \operatorname{sec}(\cdot) e um argumento linear 2x.
  • Implicações de domínio (importante para saber onde a função está definida): para que \ln(\operatorname{sec}(2x)) faça sentido devemos ter \operatorname{sec}(2x)>0, e para que \ln(\ln(\operatorname{sec}(2x))) exista precisamos de \ln(\operatorname{sec}(2x))>0, ou seja \operatorname{sec}(2x)>1. Também devemos evitar pontos onde \cos(2x)=0 porque aí \operatorname{sec}(2x) não está definida.

Passo 2

Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicadas passo a passo e com exemplos simples):
  1. Derivada do log natural: para uma função composta \ln(u(x)) vale a regra
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é qualquer função diferenciável; u'(x) é sua derivada. Exemplo rápido: se u(x)=\sin x então \frac{d}{dx}\ln(\sin x)=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x.
  1. Regra da cadeia (para composições): se temos h(x)=f(g(x)), então
h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Ou seja, derivamos a função externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da função interna. Essa regra é aplicada repetidas vezes quando há várias composições aninhadas.
  1. Derivada da função secante: \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}. Diferenciando:
\frac{d}{dt}\operatorname{sec} t=\frac{d}{dt}(\cos t)^{-1} = -1\cdot(\cos t)^{-2}\cdot(-\sin t)=\frac{\sin t}{\cos^2 t}=\operatorname{sec} t\;\tan t.
Portanto
\frac{d}{dt}\operatorname{sec} t=\operatorname{sec} t\,\tan t.
Exemplo: \frac{d}{dx}\operatorname{sec}(3x)=\operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\cdot 3 (aplicando a cadeia para o interno 3x).

Passo 3

Vamos aplicar essas regras à nossa função, fazendo substituições para deixar tudo claro. Defina as funções internas por níveis:
u(x)=\ln(\operatorname{sec}(2x)),\qquad v(x)=\operatorname{sec}(2x),\qquad w(x)=2x.
A função original é g(x)=\ln(u(x)). Nosso objetivo é achar g'(x).
Primeiro calcule w'(x):
w(x)=2x\quad\Rightarrow\quad w'(x)=2.
Agora calcule v'(x). Lembrando que v(x)=\operatorname{sec}(w(x)) e que \dfrac{d}{dt}\operatorname{sec} t=\operatorname{sec} t\tan t, aplicamos a cadeia:
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(2x)=\operatorname{sec}(2x)\,\tan(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x)=\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\cdot 2.
Assim podemos escrever
v'(x)=2\,\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).

Passo 4

Agora calcule u'(x). Lembre que u(x)=\ln(v(x)) e pela regra do log:
u'(x)=\frac{v'(x)}{v(x)}.
Substituindo v'(x) e v(x):
u'(x)=\frac{2\,\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)}{\operatorname{sec}(2x)}.
Aqui vemos que \operatorname{sec}(2x) cancela, dando
u'(x)=2\,\tan(2x).
Isso é um ponto importante: a derivada do \ln(\operatorname{sec}(2x)) simplifica bastante porque o \operatorname{sec} aparece no numerador e denominador.

Passo 5

Finalmente calcule g'(x). Como g(x)=\ln(u(x)), pela regra do log:
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Substituindo u'(x)=2\tan(2x) e u(x)=\ln(\operatorname{sec}(2x)):
g'(x)=\frac{2\,\tan(2x)}{\ln(\operatorname{sec}(2x))}.
Pronto — chegamos à expressão simplificada da derivada.

Passo 6

Comentários finais para a prova (dicas práticas e cuidado com o domínio):
  • Resultado final: g'(x)=\dfrac{2\tan(2x)}{\ln(\operatorname{sec}(2x))}.
  • Atenção ao domínio: essa expressão só faz sentido quando \ln(\operatorname{sec}(2x)) é definida e diferente de zero no denominador do quociente; para g(x) existir precisamos de \operatorname{sec}(2x)>1 (ou seja, \ln(\operatorname{sec}(2x))>0). Além disso, evite pontos onde \cos(2x)=0 (porque aí \operatorname{sec}(2x) não existe) e pontos onde \ln(\operatorname{sec}(2x))=0 (porque aí dividiríamos por zero).
  • Estratégia útil na prova: ao ter vários \ln aninhados, aplique a regra do log repetidamente e veja se há cancelamentos (como o \operatorname{sec} que cancela aqui) — isso costuma simplificar muito as contas.

Resposta

g'(x)=\frac{2\tan(2x)}{\ln(\operatorname{sec}(2x))}

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