Calcule as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é uma composição de várias funções: há um log natural exterior
, outro interno, a função e um argumento linear . - Implicações de domínio (importante para saber onde a função está definida): para que
faça sentido devemos ter , e para que exista precisamos de , ou seja . Também devemos evitar pontos onde porque aí não está definida.
Passo 2
Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicadas passo a passo e com exemplos simples):
- Derivada do log natural: para uma função composta
vale a regra
Aqui
é qualquer função diferenciável;
é sua derivada. Exemplo rápido: se
então
.
- Regra da cadeia (para composições): se temos
, então
Ou seja, derivamos a função externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da função interna. Essa regra é aplicada repetidas vezes quando há várias composições aninhadas.
- Derivada da função secante:
. Diferenciando:
Portanto
Exemplo:
(aplicando a cadeia para o interno
).
Passo 3
Vamos aplicar essas regras à nossa função, fazendo substituições para deixar tudo claro. Defina as funções internas por níveis:
A função original é
. Nosso objetivo é achar
.
Primeiro calcule
:
Agora calcule
. Lembrando que
e que
, aplicamos a cadeia:
Assim podemos escrever
Passo 4
Agora calcule
. Lembre que
e pela regra do log:
Substituindo
e
:
Aqui vemos que
cancela, dando
Isso é um ponto importante: a derivada do
simplifica bastante porque o
aparece no numerador e denominador.
Passo 5
Finalmente calcule
. Como
, pela regra do log:
Substituindo
e
:
Pronto — chegamos à expressão simplificada da derivada.
Passo 6
Comentários finais para a prova (dicas práticas e cuidado com o domínio):
- Resultado final:
. - Atenção ao domínio: essa expressão só faz sentido quando
é definida e diferente de zero no denominador do quociente; para existir precisamos de (ou seja, ). Além disso, evite pontos onde (porque aí não existe) e pontos onde (porque aí dividiríamos por zero). - Estratégia útil na prova: ao ter vários
aninhados, aplique a regra do log repetidamente e veja se há cancelamentos (como o que cancela aqui) — isso costuma simplificar muito as contas.