1. Considere
A=\left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad S:\left\{\begin{array}{c} x+y+z+t=0 \\\ x+y+z+2 t=0 \\\ x+y+2 z+3 t=0 \\\ x+2 y+3 z+4 t=0 \end{array}\right.
a) Calcule o determinante \operatorname{det}(A) da matriz A.
b) Determine se A é inversível ou não. Justifique.
c) Determine se S tem solução única, infinitas soluções ou não tem solução. Justifique.

Solução:

a) Sabemos que a terceira operação elementar não altera o determinante, então aplicando em A as operações elementares L_{2} \rightarrow L_{2}-L_{1}, L_{3} \rightarrow L_{3}-L_{1} e L_{4} \rightarrow L_{4}-L_{1} temos que
\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right| .
Agora fazendo o Desenvolvimento de Laplace pela segunda linha, obtemos
\operatorname{det}(A)=1 \cdot\left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right|=-1
b) Como \operatorname{det}(A) \neq 0, temos que A é inversível.
c) S é um sistema linear homogêneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz A. Como A é inversível, temos que S tem solução única.
4. Considere
A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 2 & 3 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 & 3 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad S:\left\{\begin{array}{c} x-y+2 z+3 t=0 \\\\ -x+y+z \\\ =0 \\\\ 2 z+t=0 \\\\ 2 x-2 y+z+3 t=0 \end{array}\right.
a) Calcule o determinante \operatorname{det}(A) da matriz A.
b) Determine se A é inversível ou não. Justifique.
c) Determine se S tem solução única, infinitas soluções ou não tem solução. Justifique.

Solução:

a) Fazendo o Desenvolvimento de Laplace pela terceira linha, obtemos
\begin{aligned} \operatorname{det}(A) & =\left|\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 2 & 3 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 & 3 \end{array}\right|=2 \cdot\left|\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 2 & -2 & 3 \end{array}\right|-1 \cdot\left|\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{array}\right| \\\ & =2 \cdot(3+6-6-3)-(1-2+4-4+2-1)=0 \end{aligned}
b) Como \operatorname{det}(A)=0, temos que A não é inversível.
c) S é um sistema linear homogêneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz A. Como A não é inversível, temos que S tem infinitas soluções.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que temos. Há duas questões (numeradas 3 e 4), cada uma com uma matriz [A) 4\times4 e um sistema homogêneo S associado àquela matriz.
Para o item 3:
  • Matriz dada:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}
  • Sistema homogêneo associado:
S:\begin{cases} x+y+z+t=0\\\ x+y+z+2t=0\\\ x+y+2z+3t=0\\\ x+2y+3z+4t=0 \end{cases}
Pede-se:
a) Calcular \det(A)\]. b) Dizer se \[A é inversível e justificar.
c) Determinar se S tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma, e justificar.
Para o item 4:
  • Matriz dada:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}
  • Sistema homogêneo associado:
S:\begin{cases} x-y+2z+3t=0\\\\ -x+y+z=0\\\\ 2z+t=0\\\\ 2x-2y+z+3t=0 \end{cases}
Pede-se:
a) Calcular \det(A)\]. b) Dizer se \(A é inversível e justificar.
c) Determinar se S tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma, e justificar.

Passo 2

Antes de calcular, um pouco de teoria útil e prática (em linguagem direta, como um amigo explicando):
  • Determinante e operações elementares: se você aplica a operação “somar a uma linha outra linha multiplicada por um escalar” (por exemplo L_i \leftarrow L_i - L_j), o determinante não muda. Trocar duas linhas muda o sinal do determinante. Multiplicar uma linha por constante \lambda multiplica o determinante por \lambda.
  • Expansão por cofatores (Desenvolvimento de Laplace): para calcular \det de uma matriz 4\times4 muitas vezes é prático escolher uma linha ou coluna com zeros. Se expandimos pela linha i, cada elemento a_{ij} contribui com a_{ij}(-1)^{i+j} vezes o determinante do menor (a matriz que sobra ao tirar a linha i e coluna j).
  • Sinal do cofator: o fator é (-1)^{i+j}. Lembre disso para calcular o sinal correto.
  • Relação entre determinante e inversibilidade: \det(A)\neq 0 se e somente se A é inversível. Se \det(A)=0, A não é inversível.
  • Sistemas homogêneos A\mathbf{x}=\mathbf{0}: se A é inversível, a única solução é a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Se A não é inversível, existe solução não-trivial — então há infinitas soluções (porque o conjunto solução forma um subespaço não-trivial, com dimensão ≥1).
Agora vamos aplicar isso passo a passo aos dois problemas.

Passo 3

Resolvendo o item 3 (cálculo de \det(A)).
Primeiro uso operações do tipo L_i \leftarrow L_i - L_1 para criar zeros embaixo da primeira coluna — essas operações não alteram o determinante. Faço:
L_2 \leftarrow L_2 - L_1,\quad L_3 \leftarrow L_3 - L_1,\quad L_4 \leftarrow L_4 - L_1.
Aplicando às linhas originais obtemos a nova matriz (escrevo-a em bloco):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Justificativa rápida: por exemplo L_2 - L_1 = (1-1,\;1-1,\;1-1,\;2-1)=(0,0,0,1), e assim por diante. Como cada operação foi do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra”, o determinante permanece igual.

Passo 4

Continuo o cálculo usando a nova matriz. Agora escolho a segunda linha para o desenvolvimento de Laplace, porque nela há apenas um elemento não-nulo ( 1 na coluna 4) — isso simplifica bastante.
A segunda linha tem apenas o elemento 1 na posição (2,4). O sinal do cofator é (-1)^{2+4}=(-1)^6=1. Então
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
onde o menor é a matriz obtida ao remover a linha 2 e coluna 4 da matriz acima.

Passo 5

Calculo o determinante do 3\times3 explicitamente. Para a matriz
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
uso a fórmula direta: para uma matriz \begin{pmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{pmatrix},
\det = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg).
Aqui a=1,\\ b=1,\\ c=1,\\ d=0,\\ e=0,\\ f=1,\\ g=0,\\ h=1,\\ i=2.
Calculo termo a termo:
  • ei-fh = 0\cdot2 - 1\cdot1 = -1.
  • di-fg = 0\cdot2 - 1\cdot0 = 0.
  • dh-eg = 0\cdot1 - 0\cdot0 = 0.
    Agora
\det(M) = 1\cdot(-1) - 1\cdot 0 + 1\cdot 0 = -1.
Portanto \det(A)=-1.

Passo 6

Concluo os itens (b) e (c) do exercício 3.
(b) Como \det(A)=-1\neq 0, pela teoria, A é inversível: existe A^{-1}.
(c) O sistema S é homogêneo com matriz de coeficientes A. Se a matriz é inversível, o único vetor que satisfaz A\mathbf{x}=\mathbf{0} é \mathbf{x}=\mathbf{0}. Logo S tem solução única (a solução trivial). Pequeno incentivo: isso significa que não precisa procurar outras soluções — a prova de inversibilidade garante que não existam soluções não-triviais.

Passo 7

Agora resolvo o item 4 (cálculo de \det(A) para a segunda matriz). Observação prática: na terceira linha da matriz há dois zeros ( 0,0,2,1), então é conveniente expandir pela terceira linha usando Laplace — isso reduz o cálculo a determinantes 3\times3.
A terceira linha é (0,\;0,\;2,\;1). Os cofatores têm sinais (-1)^{3+j}. Assim
\det(A)=2\cdot C_{33} + 1\cdot C_{34},
onde C_{33}=(-1)^{3+3}\det(M_{33})=1\cdot\det(M_{33}) e C_{34}=(-1)^{3+4}\det(M_{34})=(-1)\det(M_{34}). Então
\det(A)=2\cdot\det(M_{33}) - 1\cdot\det(M_{34}).
Aqui M_{33} é o menor 3\times3 obtido removendo linha 3 e coluna 3, e M_{34} é o menor removendo linha 3 e coluna 4.

Passo 8

Escrevo explicitamente os dois menores.
Para M_{33} (linhas 1,2,4 e colunas 1,2,4):
M_{33}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Para M_{34} (linhas 1,2,4 e colunas 1,2,3):
M_{34}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Vou calcular cada determinante 3\times3 usando a mesma fórmula do passo anterior.

Passo 9

Calculo \det(M_{33}). Para
M_{33}=\begin{pmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&-1&3\\\ -1&1&0\\\ 2&-2&3\end{pmatrix},
temos:
  • ei-fh = 1\cdot3 - 0\cdot(-2) = 3.
  • di-fg = (-1)\cdot3 - 0\cdot2 = -3.
  • dh-eg = (-1)\cdot(-2) - 1\cdot2 = 2 - 2 = 0.
    Aplicando a fórmula
\det(M_{33}) = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg) = 1\cdot 3 - (-1)\cdot(-3) + 3\cdot 0.
Cuidado com os sinais: -b(di-fg)= -(-1)(-3)= - (1\cdot -3) = -(-3)=3? Vamos recomputar devagar: a fórmula é \(a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg). Substituindo b=-1 e di-fg=-3,
- b(di-fg) = -(-1)\cdot(-3) = (1)\cdot(-3) = -3.
Portanto
\det(M_{33}) = 1\cdot 3 + (-3) + 0 = 0.
(ou seja, 3-3+0=0). Resultado: \det(M_{33})=0.)

Passo 10

Agora \det(M_{34}). Para
M_{34}=\begin{pmatrix}1&-1&2\\\ -1&1&1\\\ 2&-2&1\end{pmatrix},
calculo os mesmos termos:
  • ei-fh = 1\cdot1 - 1\cdot(-2) = 1 + 2 = 3.
  • di-fg = (-1)\cdot1 - 1\cdot2 = -1 - 2 = -3.
  • dh-eg = (-1)\cdot(-2) - 1\cdot2 = 2 - 2 = 0.
    Aplicando a fórmula:
\det(M_{34}) = 1\cdot 3 - (-1)\cdot(-3) + 2\cdot 0.
De novo, o termo do meio é -(-1)\cdot(-3) = -1\cdot(-3) = -3. Então
\det(M_{34}) = 3 - 3 + 0 = 0.
Assim \det(M_{34})=0.

Passo 11

Com os dois menores zero, volta-se à expressão da determinante original:
\det(A)=2\cdot\det(M_{33}) - 1\cdot\det(M_{34}) = 2\cdot 0 - 1\cdot 0 = 0.
Portanto \det(A)=0.

Passo 12

Concluo os itens (b) e (c) do exercício 4.
(b) Como \det(A)=0, a matriz A não é inversível (não existe A^{-1}). Justificativa-pulo-de-fé: determinante zero implica colunas (ou linhas) linearmente dependentes, logo não há inversa.
(c) O sistema S é homogêneo e sua matriz dos coeficientes tem determinante zero. Isso implica que existe vetor não-nulo \mathbf{x} tal que A\mathbf{x}=\mathbf{0}. Portanto há soluções não-triviais; como o espaço solução é um subespaço linear com dimensão pelo menos 1, existem infinitas soluções. (Resumo: não-inversibilidade ⇒ solução não-trivial ⇒ infinitas soluções para o sistema homogêneo.)

Resposta

a) Para o exercício 3: \det(A)=-1
b) Para o exercício 3: A é inversível (pois \det(A)=-1\neq0).
c) Para o exercício 3: S tem solução única (apenas a solução trivial \mathbf{0}).
a) Para o exercício 4: \det(A)=0
b) Para o exercício 4: A não é inversível (pois \det(A)=0).
c) Para o exercício 4: S tem infinitas soluções.

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