Calcule as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função
.\n
Informações dadas: a função está explícita em termos de e escrita como um cosseno de uma expressão interna
.\n
O que vamos entregar: pelo menos a derivada primeira . (Como o enunciado usou “derivadas” no plural, também vou calcular a segunda derivada
para ficar completo.)
Informações dadas: a função está explícita em termos de
O que vamos entregar: pelo menos a derivada primeira
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado devagar): quando temos uma função composta
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de
em relação a
é
Aqui cada parte significa:
-
é a “parte interna” da composição — no nosso caso . -
é a derivada dessa parte interna em relação a . - Multiplicamos
por porque primeiro derivamos o exterior ( vira ) mantendo a interna, e depois multiplicamos pela derivada da interna (isso é a essência da cadeia).\n
Exemplo simples para fixar: a derivada deé . Viu como aplicamos a regra da cadeia ali também?
Passo 3
Aplicando isso à nossa função: definimos a parte interna
Agora calculamos a derivada de
:
Usando a regra da cadeia para
obtemos
Organizando o resultado:
Passo 4
Agora, se quiseres a segunda derivada
, derivamos
. Aqui vamos usar a regra do produto porque
é produto de duas funções:
e
. A regra do produto diz
Calculamos cada peça:
-
então . - Para
usamos de novo a regra da cadeia: .
Agora aplicamos a regra do produto:
Multiplicando e simplificando o segundo termo:
Portanto
Opcionalmente podemos fatorar
:
Passo 5
Dica de prova (rápida e prática): identifique sempre a “parte interna” antes de qualquer cosseno/seno/exponencial; calcule sua derivada separadamente; aplique a cadeia. Se aparecer produto, use a regra do produto. Fazendo esses passos devagar uma vez, depois dá para acelerar sem erro. Força aí — tu consegue!