Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x)=\cos 3 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função \,f(x)=\cos(3x^{2}).\n
Informações dadas: a função está explícita em termos de x e escrita como um cosseno de uma expressão interna \,3x^{2}.\n
O que vamos entregar: pelo menos a derivada primeira f'(x). (Como o enunciado usou “derivadas” no plural, também vou calcular a segunda derivada f''(x) para ficar completo.)

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado devagar): quando temos uma função composta \,\cos(u(x)), usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de \,\cos(u(x)) em relação a x é
-\sin(u(x))\cdot u'(x).
Aqui cada parte significa:
  • \,u(x) é a “parte interna” da composição — no nosso caso \,u(x)=3x^{2}.
  • \,u'(x) é a derivada dessa parte interna em relação a x.
  • Multiplicamos -\sin(u(x)) por u'(x) porque primeiro derivamos o exterior ( \cos vira -\sin) mantendo a interna, e depois multiplicamos pela derivada da interna (isso é a essência da cadeia).\n
    Exemplo simples para fixar: a derivada de \cos(5x) é -\sin(5x)\cdot 5 = -5\sin(5x). Viu como aplicamos a regra da cadeia ali também?

Passo 3

Aplicando isso à nossa função: definimos a parte interna
u(x)=3x^{2}.
Agora calculamos a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})=3\cdot \frac{d}{dx}(x^{2})=3\cdot 2x=6x.
Usando a regra da cadeia para \,f(x)=\cos(u(x)) obtemos
f'(x)=-\sin(u(x))\cdot u'(x)=-\sin(3x^{2})\cdot 6x.
Organizando o resultado:
f'(x)=-6x\sin(3x^{2}).

Passo 4

Agora, se quiseres a segunda derivada f''(x), derivamos f'(x)=-6x\sin(3x^{2}). Aqui vamos usar a regra do produto porque f'(x) é produto de duas funções: g(x)=-6x e h(x)=\sin(3x^{2}). A regra do produto diz
\frac{d}{dx}[g(x)h(x)]=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
Calculamos cada peça:
  • g(x)=-6x então g'(x)=-6.
  • Para h(x)=\sin(3x^{2}) usamos de novo a regra da cadeia: h'(x)=\cos(3x^{2})\cdot(3x^{2})'=\cos(3x^{2})\cdot 6x.
    Agora aplicamos a regra do produto:
f''(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)=-6\sin(3x^{2})+(-6x)\cdot\big(6x\cos(3x^{2})\big).
Multiplicando e simplificando o segundo termo:
(-6x)\cdot(6x\cos(3x^{2}))=-36x^{2}\cos(3x^{2}).
Portanto
f''(x)=-6\sin(3x^{2})-36x^{2}\cos(3x^{2}).
Opcionalmente podemos fatorar -6:
f''(x)=-6\big(\sin(3x^{2})+6x^{2}\cos(3x^{2})\big).

Passo 5

Dica de prova (rápida e prática): identifique sempre a “parte interna” antes de qualquer cosseno/seno/exponencial; calcule sua derivada separadamente; aplique a cadeia. Se aparecer produto, use a regra do produto. Fazendo esses passos devagar uma vez, depois dá para acelerar sem erro. Força aí — tu consegue!

Resposta

\,f'(x)=-6x\sin(3x^{2})\n
\,f''(x)=-6\sin(3x^{2})-36x^{2}\cos(3x^{2})

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