Determine a derivada direcional da função
dada por
no ponto
na direção que forma um ângulo
com o eixo
. Em que elevação e sentido tem-se a derivada direcional máxima?
Passo 1
O enunciado quer a derivada direcional de f(x,y)=x²−y² no ponto (3,1) na direção θ=π/4, e também determinar em que direção e sentido essa derivada é máxima. Vamos usar o conceito de gradiente e a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário de direção.
Passo 2
Calculamos o gradiente de f:
Passo 3
Para θ=π/4, o vetor unitário é
Passo 4
A derivada direcional é
Passo 5
A direção que maximiza a derivada direcional é a do próprio gradiente, e o valor máximo é o módulo de \nabla f(3,1). Calculamos
O vetor unitário nessa direção é
correspondente a um ângulo
rad.
Passo 6
Resumo: a derivada direcional em θ=π/4 vale 2\sqrt{2}, e a máxima vale 2\sqrt{10}, ocorrendo na direção do vetor unitário (3/\sqrt{10}, -1/\sqrt{10}).
Resposta
Derivada direcional em θ=π/4: 2\sqrt{2}. Derivada direcional máxima: 2\sqrt{10}, na direção do vetor unitário (3/\sqrt{10}, -1/\sqrt{10}), i.e. na direção do gradiente.