Determine a derivada direcional da função f dada por f(x, y)=x^2-y^2 no ponto (3,1) na direção que forma um ângulo theta=pi4 com o eixo x. Em que elevação e sentido tem-se a derivada direcional máxima?

Passo 1

O enunciado quer a derivada direcional de f(x,y)=x²−y² no ponto (3,1) na direção θ=π/4, e também determinar em que direção e sentido essa derivada é máxima. Vamos usar o conceito de gradiente e a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário de direção.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y) = (partial f/partial x, partial f/partial y) = (2x, -2y) Avaliando em (3,1) temos nabla f(3,1) = (6, -2)

Passo 3

Para θ=π/4, o vetor unitário é u = (cos(pi/4), sin(pi/4)) = (tfracraiz22, tfracraiz22)

Passo 4

A derivada direcional é D u f(3,1) = nabla f(3,1) cdot u = 6 cdot (tfracraiz22) + (-2) cdot (tfracraiz22) = (6-2)tfracraiz22 = 2raiz2

Passo 5

A direção que maximiza a derivada direcional é a do próprio gradiente, e o valor máximo é o módulo de \nabla f(3,1). Calculamos |nabla f(3,1)| = raiz6^2 + (-2)^2 = raiz40 = 2raiz10 O vetor unitário nessa direção é (tfrac6raiz40, tfrac-2raiz40) = (tfrac3raiz10, -tfrac1raiz10), correspondente a um ângulo phi = arctan(-1/3) approx -0,322 rad.

Passo 6

Resumo: a derivada direcional em θ=π/4 vale 2\sqrt{2}, e a máxima vale 2\sqrt{10}, ocorrendo na direção do vetor unitário (3/\sqrt{10}, -1/\sqrt{10}).

Resposta

Derivada direcional em θ=π/4: 2\sqrt{2}. Derivada direcional máxima: 2\sqrt{10}, na direção do vetor unitário (3/\sqrt{10}, -1/\sqrt{10}), i.e. na direção do gradiente.

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