Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada: y = sen(a*x), n = 4, a em R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas sucessivas da função até a ordem 4. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como derivar a função seno e aplicar esse processo várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a derivada da função seno. Sabemos que:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde . Então, a primeira derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada. Derivando :
Aqui, a derivada de é . Assim, a segunda derivada é .

Passo 4

Seguimos para a terceira derivada, derivando :
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. A terceira derivada fica .

Passo 5

Por fim, vamos calcular a quarta derivada, derivando :
Mais uma vez, usamos a regra da cadeia. Assim, a quarta derivada é .

Resposta

As derivadas sucessivas de até a ordem 4 são:

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