Calcule f^(3)(5), se f(x) = raiz(x - 1) * g(x), g(5) = -1, g'(5) = 1/3, g''(5) = 2 e g^(3)(5) = 10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a terceira derivada de no ponto . Isso envolve cálculo de derivadas de funções compostas e produto. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que pode ser escrita como . Então:

Passo 3

Precisamos encontrar a terceira derivada de . Vamos chamar e . Assim, . Vamos usar a regra do produto para derivar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 5

Agora, sabemos que e temos as seguintes informações:

Passo 6

Vamos aplicar a regra do produto para encontrar . A regra do produto para derivadas de ordem três é um pouco extensa, mas vamos detalhar:

Passo 7

Substituindo e as derivadas que já calculamos:

Passo 8

Agora, vamos substituir tudo na expressão de :

Passo 9

Vamos calcular cada termo separadamente:

Passo 10

Agora, somamos todos os termos:
Primeiro, vamos igualar os denominadores para facilitar a soma:

Resposta

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