Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função) z(w) = (w + tg(w)) / (1 + csc(w))

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte problema: precisamos encontrar a derivada da função . Isso envolve cálculo de derivadas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar da regra do quociente, das derivadas das funções trigonométricas como a tangente ( ) e a cosecante ( ), além de simplificar a função se der.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função se possível. Observando o denominador , sabemos que . Então, podemos reescrever o denominador:
Agora, substituindo de volta na função :
Isso já nos deixa com uma forma um pouco mais simples para trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente para encontrar a derivada de . A regra do quociente diz que se temos uma função , a derivada é:
No nosso caso, e . Vamos precisar derivar e separadamente.

Passo 4

Vamos derivar :
Aqui, usamos o fato de que a derivada de é .
Agora, vamos derivar :
Lembrando que a derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente com as derivadas encontradas:
Vamos simplificar o numerador:

Passo 6

Finalmente, podemos deixar a derivada nessa forma simplificada ou, se preferir, fatorar mais algum termo comum. Porém, essa é uma forma aceitável para a derivada da função dada.

Resposta

A derivada da função é:

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