Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada:
y=ln 2 x, n=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas sucessivas até a terceira ordem da função . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma função logarítmica e aplicar a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de dudx = 2 . Lembra que a derivada de y' = 12x times 2 = 22x = 1x em relação a é multiplicado pela derivada de em relação a (isso é a regra da cadeia).
Então, para :
Agora, aplicando a derivada:

Passo 3

Agora vamos para a segunda derivada, que é a derivada de y'' = -1x^2 . Sabemos que a derivada de é .
Então:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a terceira derivada, que é a derivada de y''' = 2x^3 . A derivada de é .
Portanto:

Resposta

A terceira derivada de y''' = 2x^3 é:

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