Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f^-1 em P:
f(x)=-2 x+8x^3, P(-3,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função inversa $ f^{-1} $ no ponto $ P(-3, 2) $. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções inversas e derivadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que se $ P(a, b) $ está no gráfico de $ f^{-1} $, então $ f(b) = a $. No nosso caso, $ P(-3, 2) $ significa que $ f(2) = -3 $. Isso é importante para encontrarmos a derivada que precisamos.

Passo 3

Agora, para encontrar o coeficiente angular da reta tangente à função inversa $ f^{-1} $ em $ P(-3, 2) $, vamos usar a fórmula da derivada da função inversa:
f^-1
onde $ a = -3 $ e $ b = 2 $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ f(x) $ para encontrar $ f’(2) $. A função dada é:
f(x)
Derivando termo a termo:
f'(2)
Agora, substituímos $ x = 2 $:
f(x) = -2x + 8x^3

Passo 5

Com $ f’(2) = -3,5 $, podemos agora encontrar $ (f^{-1})’(-3) $ usando a fórmula da derivada da função inversa:
f'(2) = -3,5

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é $ -\dfrac{2}{7} $.

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