Derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x)=ln(ln(ln(sen x))). O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções compostas, além das derivadas de ln(u) e de sen(x).
Passo 2
Definimos h(x)=ln(ln(sen x)). Aplicando a regra da cadeia em h(x): primeiro derivamos ln(u) com u=ln(sen x), depois derivamos ln(sen x). Assim,
h’(x)=\frac{1}{\ln(\sin x)}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x,\ln(\sin x)}.
h’(x)=\frac{1}{\ln(\sin x)}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x,\ln(\sin x)}.
Passo 3
Agora f(x)=ln(h(x)). Aplicando a regra da cadeia em f: f’(x)=\frac{1}{h(x)}\cdot h’(x). Substituindo h(x) e h’(x):
f’(x)=\frac{1}{\ln(\ln(\sin x))}\cdot\frac{\cos x}{\sin x,\ln(\sin x)}.
f’(x)=\frac{1}{\ln(\ln(\sin x))}\cdot\frac{\cos x}{\sin x,\ln(\sin x)}.
Resposta
\displaystyle f’(x)=\frac{\cos x}{\sin x,\ln(\sin x),\ln\bigl(\ln(\sin x)\bigr)}