Calcule as derivadas sucessivas para cada uma das seguintes funções:
f(x)=3 x^{2}+5 x+6

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=3x^{2}+5x+6
e pede que se calculem as derivadas sucessivas. Para ficar bem claro, vamos encontrar:
  • f'(x) (a primeira derivada),
  • f''(x) (a segunda derivada),
  • f^{(3)}(x) (a terceira derivada),
    e observar o que acontece com derivadas de ordem superior.

Passo 2

Antes de aplicar, um mini-aula sobre as regras que vamos usar (bem devagar, tipo passo a passo de prova):
Regra 1 — linearidade da derivada:
\text{Se }g(x)=a(x)+b(x),\text{ então }g'(x)=a'(x)+b'(x).ã
Isto diz que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Regra 2 — fator constante:
\text{Se }h(x)=c\cdot u(x)\text{ com }c\text{ constante, então }h'(x)=c\cdot u'(x).ã
Ou seja, pode puxar constantes para fora da derivada.
Regra 3 — regra do poder (power rule):
\text{Para inteiro }n,\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente; por exemplo, se n=2 então \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x. Essa é a regra que usamos para potências de x.
Regra 4 — derivada de constante:
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0\quad\text{se }C\text{ é constante.}é
Com essas regras na mão, vamos aplicar termo a termo em f(x). Lembra: para polinômios dá para derivar cada monômio separadomente por linearidade.

Passo 3

Calcular f'(x) aplicando as regras termo a termo.
Termos de f(x):
  • 3x^{2}: é uma constante 3 vezes x^{2}. Pela regra do fator constante e do poder,
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=3\cdot(2x)=6x.
Expliquei: peguei n=2 na regra do poder, então 2x^{1}=2x, e multipliquei por 3.
  • 5x: é 5 vezes x^{1}. Pela mesma ideia,
\frac{d}{dx}\bigl(5x\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=5\cdot 1=5,
pois \dfrac{d}{dx}(x)=1 (é o caso n=1 da regra do poder).
  • 6: é constante, então
\frac{d}{dx}(6)=0.
Somando as derivadas (pela linearidade),
f'(x)=6x+5+0=6x+5.

Passo 4

Calcular f''(x), ou seja, a derivada da primeira derivada f'(x)=6x+5.
Aplicando termo a termo:
  • 6x: é 6 vezes x, então \dfrac{d}{dx}(6x)=6\cdot 1=6.
  • 5: constante, \dfrac{d}{dx}(5)=0.
Somando,
f''(x)=6+0=6.
Observação: resultado constante significa que a derivada de segunda ordem é uma constante.

Passo 5

Calcular f^{(3)}(x), a derivada da segunda derivada. Como f''(x)=6 é constante,
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(f''(x)\bigr)=\frac{d}{dx}(6)=0.
E mais: a partir daí, todas as derivadas de ordem maior que 2 são zero, porque a derivada de zero continua zero. Em termos gerais, para um polinômio de grau m, todas as derivadas de ordem n>m valem zero. Aqui m=2, então para n\ge 3 tem-se f^{(n)}(x)=0.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (modo amigo):
  • Para polinômios, sempre derive termo a termo com a regra do poder — é direto e rápido.
  • Se a função é grau 2, já sabe: primeira derivada terá grau 1, segunda derivada será constante, terceira e adiante dão zero.
  • Faça mentalmente: derivada de ax^2 é 2ax; derivada de bx é b; derivada de constante vira 0. Pronto!

Resposta

f'(x)=6x+5\n
f''(x)=6\n
f^{(3)}(x)=0 (e f^{(n)}(x)=0 para todo n\ge 3)

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