Calcule as derivadas sucessivas para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede que se calculem as derivadas sucessivas. Para ficar bem claro, vamos encontrar:
-
(a primeira derivada), -
(a segunda derivada), -
(a terceira derivada),
e observar o que acontece com derivadas de ordem superior.
Passo 2
Antes de aplicar, um mini-aula sobre as regras que vamos usar (bem devagar, tipo passo a passo de prova):
Regra 1 — linearidade da derivada:
Isto diz que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Regra 2 — fator constante:
Ou seja, pode puxar constantes para fora da derivada.
Regra 3 — regra do poder (power rule):
Aqui
é o expoente; por exemplo, se
então
. Essa é a regra que usamos para potências de
.
Regra 4 — derivada de constante:
Com essas regras na mão, vamos aplicar termo a termo em
. Lembra: para polinômios dá para derivar cada monômio separadomente por linearidade.
Passo 3
Calcular
aplicando as regras termo a termo.
Termos de
:
-
: é uma constante vezes . Pela regra do fator constante e do poder,
Expliquei: peguei
na regra do poder, então
, e multipliquei por
.
-
: é vezes . Pela mesma ideia,
pois
(é o caso
da regra do poder).
-
: é constante, então
Somando as derivadas (pela linearidade),
Passo 4
Calcular
, ou seja, a derivada da primeira derivada
.
Aplicando termo a termo:
-
: é vezes , então . -
: constante, .
Somando,
Observação: resultado constante significa que a derivada de segunda ordem é uma constante.
Passo 5
Calcular
, a derivada da segunda derivada. Como
é constante,
E mais: a partir daí, todas as derivadas de ordem maior que 2 são zero, porque a derivada de zero continua zero. Em termos gerais, para um polinômio de grau
, todas as derivadas de ordem
valem zero. Aqui
, então para
tem-se
.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (modo amigo):
- Para polinômios, sempre derive termo a termo com a regra do poder — é direto e rápido.
- Se a função é grau 2, já sabe: primeira derivada terá grau 1, segunda derivada será constante, terceira e adiante dão zero.
- Faça mentalmente: derivada de
é ; derivada de é ; derivada de constante vira . Pronto!