Calcule a derivada das seguintes funções usando a regra da cadeia.
\left(2 x{2}-4\right){3}
\left(2 x{2}-4\right){3}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo usando a regra da cadeia. A função dada é:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função tem a forma de uma composição: uma função externa elevada ao cubo aplicada a uma expressão em
. - Não há outros dados ou restrições; pede-se apenas
.
Passo 2
Vamos lembrar a ideia da regra da cadeia de forma bem prática e intuitiva. Se uma função é composição de duas funções, isto é, se
então a derivada de
em relação a
é dada por
Explicando cada termo:
-
é a função interna (o “dentro”). -
é a função externa (o “lado de fora”). -
é a derivada da função externa em relação a sua variável . -
é a derivada da função interna em relação a .
A ideia prática: deriva-se primeiro a parte de fora (como se a parte de dentro fosse uma letra só), e depois multiplica-se pela derivada da parte de dentro.
Passo 3
Identificamos agora, para a nossa função, a função externa e a função interna:
- Função externa:
.
Derivada da externa em termos de: - Função interna:
.
Derivada da interna em termos de:
Aqui calculei a derivada de
usando a regra da potência (derivada de
é
, multiplicando pelo coeficiente
dá
) e a derivada de constante é zero.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
e
que achamos:
Agora fazemos a multiplicação escalar
:
portanto
Passo 5
Opcional — uma forma alternativa equivalente, fatorando
de
:
Elevando ao quadrado:
Substituindo em
:
Ambas as formas,
e
, são idênticas; escolha a que preferir na prova.