Calcule a derivada das seguintes funções usando a regra da cadeia.
\left(2 x{2}-4\right){3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo usando a regra da cadeia. A função dada é:
f(x) = \left(2 x^{2}-4\right)^{3}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função tem a forma de uma composição: uma função externa elevada ao cubo aplicada a uma expressão em x.
  • Não há outros dados ou restrições; pede-se apenas f'(x).

Passo 2

Vamos lembrar a ideia da regra da cadeia de forma bem prática e intuitiva. Se uma função é composição de duas funções, isto é, se
f(x) = g\big(u(x)\big),
então a derivada de f em relação a x é dada por
f'(x) = g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicando cada termo:
  • u(x) é a função interna (o “dentro”).
  • g(u) é a função externa (o “lado de fora”).
  • g'(u) é a derivada da função externa em relação a sua variável u.
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
    A ideia prática: deriva-se primeiro a parte de fora (como se a parte de dentro fosse uma letra só), e depois multiplica-se pela derivada da parte de dentro.

Passo 3

Identificamos agora, para a nossa função, a função externa e a função interna:
  • Função externa: g(u) = u^{3}.
    Derivada da externa em termos de u: g'(u)=3u^{2}.
  • Função interna: u(x)=2x^{2}-4.
    Derivada da interna em termos de x: u'(x)=\frac{d}{dx}\big(2x^{2}-4\big)=\frac{d}{dx}\big(2x^{2}\big)-\frac{d}{dx}(4)=4x-0=4x.
Aqui calculei a derivada de 2x^{2} usando a regra da potência (derivada de x^{2} é 2x, multiplicando pelo coeficiente 2 4x) e a derivada de constante é zero.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo g' e u' que achamos:
f'(x)=3\big(u(x)\big)^{2}\cdot 4x = 3\big(2x^{2}-4\big)^{2}\cdot 4x.
Agora fazemos a multiplicação escalar 3\cdot 4x:
3\cdot 4x = 12x,
portanto
f'(x)=12x\big(2x^{2}-4\big)^{2}.

Passo 5

Opcional — uma forma alternativa equivalente, fatorando 2 de 2x^{2}-4:
2x^{2}-4 = 2\big(x^{2}-2\big).
Elevando ao quadrado:
\big(2x^{2}-4\big)^{2} = \big(2\big(x^{2}-2\big)\big)^{2} = 4\big(x^{2}-2\big)^{2}.
Substituindo em f'(x):
f'(x)=12x\cdot 4\big(x^{2}-2\big)^{2} = 48x\big(x^{2}-2\big)^{2}.
Ambas as formas, \,12x(2x^{2}-4)^{2}\, e \,48x(x^{2}-2)^{2}\,, são idênticas; escolha a que preferir na prova.

Resposta

12x\big(2x^{2}-4\big)^{2}

Exercícios relacionados