Calcule \frac{d s}{d t} sendo s=\frac{5 t}{t^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada temporal de s, ou seja, encontrar \dfrac{d s}{d t}, sendo
s=\frac{5t}{t^{2}+1}.
Informações dadas:
  • A função s está definida para todo t real (pois t^{2}+1>0 para todo t);
  • Queremos a taxa de variação de s em relação a t: \dfrac{d s}{d t}.

Passo 2

Lembrete das regras que vamos usar (explicação didática):
  • Regra da quociente: para duas funções diferenciáveis u(t) e v(t) com v(t)\neq0,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'=\dfrac{du}{dt} e v'=\dfrac{dv}{dt}. A ideia é: derivar o numerador, multiplicar pelo denominador, subtrair o numerador vezes a derivada do denominador, e dividir pelo quadrado do denominador.
  • Também existe a regra do produto e a regra da cadeia, que podem dar o mesmo resultado quando reescrevemos o quociente como produto; usarei a quociente primeiro porque é direta.

Passo 3

Identificar u e v para aplicar a quociente:
u(t)=5t,\qquad v(t)=t^{2}+1.
Calcular as derivadas de u e v:
u'(t)=\frac{d}{dt}(5t)=5, \qquad v'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2}+1)=2t.

Passo 4

Aplicar a regra da quociente:
\frac{d s}{d t}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{5\,(t^{2}+1)- (5t)\,(2t)}{(t^{2}+1)^{2}}.
Agora simplificar o numerador passo a passo:
5\,(t^{2}+1)=5t^{2}+5, \qquad (5t)(2t)=10t^{2},
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5t^{2}+5-10t^{2}=5-5t^{2}.
Portanto
\frac{d s}{d t}=\frac{5-5t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Factorizar para uma forma mais compacta e elegante (útil em prova):
5-5t^{2}=5(1-t^{2}),
então a derivada fica
\frac{d s}{d t}=\frac{5(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

(Apenas para ganhar confiança: verificação alternativa por produto+cadeia)
Escrever s=5t\,(t^{2}+1)^{-1}. Pela regra do produto:
\frac{d s}{d t}=5\cdot (t^{2}+1)^{-1} + 5t\cdot\big(-1\big)(t^{2}+1)^{-2}\cdot(2t),
que simplificando dá
\frac{5}{t^{2}+1}-\frac{10t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}=\frac{5(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}},
mesmo resultado — boa consistência.

Resposta

\dfrac{5(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}}

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