Calcule
sendo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada temporal de
, ou seja, encontrar
, sendo
Informações dadas:
- A função
está definida para todo real (pois para todo ); - Queremos a taxa de variação de
em relação a : .
Passo 2
Lembrete das regras que vamos usar (explicação didática):
- Regra da quociente: para duas funções diferenciáveis
e com ,
Aqui
e
. A ideia é: derivar o numerador, multiplicar pelo denominador, subtrair o numerador vezes a derivada do denominador, e dividir pelo quadrado do denominador.
- Também existe a regra do produto e a regra da cadeia, que podem dar o mesmo resultado quando reescrevemos o quociente como produto; usarei a quociente primeiro porque é direta.
Passo 3
Identificar
e
para aplicar a quociente:
Calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Aplicar a regra da quociente:
Agora simplificar o numerador passo a passo:
logo
Portanto
Passo 5
Factorizar para uma forma mais compacta e elegante (útil em prova):
então a derivada fica
Passo 6
(Apenas para ganhar confiança: verificação alternativa por produto+cadeia)
Escrever . Pela regra do produto:
Escrever
que simplificando dá
mesmo resultado — boa consistência.