Calcule as derivadas totais (dz/dy):
z=(x+y)^2(x-2 y) onde x=2-7 y

Passo 1

O enunciado pede a derivada total dzdy de
z=(x+y)^2(x-2y)
sabendo que
x=2-7y
O conteúdo é regra da cadeia com derivadas parciais e regra do produto.

Passo 2

Primeiro, calculamos
dxdy=-7
Agora as derivadas parciais de z(x,y). Escrevemos
z=(x+y)^2cdot(x-2y),
logo, usando regra do produto com f=(x+y)^2 e g=x-2y:
partial zpartial x = f'x,g + f,g'x =2(x+y),(x-2y)+(x+y)^2,
partial zpartial y = f'y,g + f,g'y =2(x+y),(x-2y)-2,(x+y)^2

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
dzdy =partial zpartial x,dxdy +partial zpartial y
Simplificando as parciais antes de substituir dx/dy:
partial zpartial x =2(x+y)(x-2y)+(x+y)^2 =(x+y)l(2x-4y+x+yr) =3(x+y)(x-y),
partial zpartial y =2(x+y)(x-2y)-2(x+y)^2 =2(x+y)l(x-2y-(x+y)r) =-6y(x+y)
Logo,
dzdy =-7cdot 3(x+y)(x-y)-6y(x+y) =-(x+y)l(21(x-y)+6yr) =-(x+y)(21x-15y)

Passo 4

Substituímos x=2-7y:
x+y=2-6y, 21x-15y=21(2-7y)-15y=42-162y,
portanto
dzdy =-(2-6y)(42-162y) =-972y^2+576y-84

Resposta

dzdy=-972y^2+576y-84

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