Em um quadrilátero
, sabe-se que
e
. Mostre que os triângulos
e
são congruentes. Conclua que os ângulos opostos do quadrilátero são congruentes, isto é, que
e
. Altere sua prova para mostrar que, se os quatro lados tiverem a mesma medida, então, os quatro ângulos serão congruentes.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero
em que
Pede-se mostrar que os triângulos
e
são congruentes e, a partir disso, concluir que os ângulos opostos do quadrilátero são iguais:
Depois, quer-se modificar a prova para o caso em que
e então deduzir que todos os quatro ângulos interiores são congruentes.
Passo 2
Considere as diagonais que formam os triângulos
e
. Em cada um temos três lados:
-
é comum a ambos. -
(dado). -
(dado).
Pelo critério Lado–Lado–Lado (SSS), conclui-se
Passo 3
Da congruência de triângulos seguem-se as igualdades de ângulos correspondentes. No espelho que leva
em
, o vértice
vai em
e
vai em
. Assim
Passo 4
Agora suponha
. Então valem as hipóteses do passo 2 não só para o par de triângulos
e
, mas também — trocando o papel da outra diagonal — para os triângulos
e
, pois
Logo
e isso mostra que a outra diagonal
também é eixo de simetria do quadrilátero.
Ter dois eixos de simetria (as diagonais) implica que qualquer ângulo interior pode ser levado em qualquer outro por reflexões sucessivas. Portanto todos os quatro ângulos são congruentes entre si.
Resposta
Mostrou-se que, se
e
, então
e daí
,
.
Se além disso , cada diagonal é eixo de simetria, o que leva a todas as quatro ângulos do quadrilátero serem iguais.
Se além disso