Em um quadrilátero A B C D, sabe-se que A B=C D e B C=A D. Mostre que os triângulos A C B e C A D são congruentes. Conclua que os ângulos opostos do quadrilátero são congruentes, isto é, que A=C e B=D. Altere sua prova para mostrar que, se os quatro lados tiverem a mesma medida, então, os quatro ângulos serão congruentes.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ABCD em que
AB = CD e BC = AD
Pede-se mostrar que os triângulos triang<= ACB e triang<= CAD são congruentes e, a partir disso, concluir que os ângulos opostos do quadrilátero são iguais:
hat A = hat C e hat B = hat D
Depois, quer-se modificar a prova para o caso em que
AB = BC = CD = DA
e então deduzir que todos os quatro ângulos interiores são congruentes.

Passo 2

Considere as diagonais que formam os triângulos triang<= ACB e triang<= CAD. Em cada um temos três lados:
  1. AC é comum a ambos.
  2. CB = AD (dado).
  3. BA = DC (dado).
    Pelo critério Lado–Lado–Lado (SSS), conclui-se
triang<= ACB cong triang<= CAD

Passo 3

Da congruência de triângulos seguem-se as igualdades de ângulos correspondentes. No espelho que leva triang<= ACB em triang<= CAD, o vértice A vai em C e B vai em D. Assim
hat A = hat C e hat B = hat D

Passo 4

Agora suponha AB=BC=CD=DA. Então valem as hipóteses do passo 2 não só para o par de triângulos triang<= ACB e triang<= CAD, mas também — trocando o papel da outra diagonal — para os triângulos triang<= ABD e triang<= CBD, pois
AB = CD, AD = BC, BD é comum é
Logo
triang<= ABD cong triang<= CBD,
e isso mostra que a outra diagonal BD também é eixo de simetria do quadrilátero.
Ter dois eixos de simetria (as diagonais) implica que qualquer ângulo interior pode ser levado em qualquer outro por reflexões sucessivas. Portanto todos os quatro ângulos são congruentes entre si.

Resposta

Mostrou-se que, se AB=CD e BC=AD, então triang<= ACBcongtriang<= CAD e daí hat A=hat C, hat B=hat D.
Se além disso AB=BC=CD=DA, cada diagonal é eixo de simetria, o que leva a todas as quatro ângulos do quadrilátero serem iguais.

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