Calcule as derivadas totais (dz/dy):
z=4 x^2-3 x y+2 y^2 onde x=1 / y

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
z = 4x^2 - 3xy + 2y^2
e a relação
x = 1y
Pede-se a derivada total dzdy.
Aqui o conteúdo é o uso da regra da cadeia para funções de várias variáveis:
dzdy = partial zpartial x,dxdy + partial zpartial y

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = partialpartial xl(4x^2 - 3xy + 2y^2r) = 8x - 3y,
partial zpartial y = partialpartial yl(4x^2 - 3xy + 2y^2r) = -3x + 4y

Passo 3

Derivar x = 1/y em relação a y:
dxdy = ddyl(y^-1r) = -,y^-2 = -1y^2

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
dzdy = l(8x - 3yr)dxdy + l(-3x + 4yr)

Passo 5

Substituir x = 1y e dxdy = -1y^2, depois simplificar:
dzdy = l(8cdottfrac1y - 3yr)l(-tfrac1y^2r) + l(-3cdottfrac1y + 4yr)
Calculando termo a termo:
l(8/y - 3yr)l(-1/y^2r) = -8y^3 + 3y,
-,3y + 4y = -3y + 4y
Somando:
-8y^3 + 3y - 3y + 4y = 4y - 8y^3

Resposta

dzdy = 4y - 8y^3

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