Calcule as derivadas:
\varphi(x)=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
\varphi(x)=\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr|.
O conteúdo principal é a regra de derivação do logaritmo: para u(x)\neq0,
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Também vamos usar a propriedade de diferença de logaritmos:
\ln\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr|=\ln|x-1|-\ln|x+1|.

Passo 2

Reescrevendo \varphi(x) como diferença de logs, temos
\varphi(x)=\frac{1}{2}\bigl(\ln|x-1|-\ln|x+1|\bigr).

Passo 3

Aplicando a derivada termo a termo e usando \frac{d}{dx}\ln|x\pm1|=\frac{1}{x\pm1}, obtemos
\varphi'(x) =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\Bigr).

Passo 4

Fazendo o mesmo denominador (x-1)(x+1)=x^2-1,
\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} =\frac{x+1-(x-1)}{x^2-1} =\frac{2}{x^2-1}.
Multiplicando por \tfrac12,
\varphi'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2-1} =\frac{1}{x^2-1}.

Resposta

\varphi'(x)=\frac{1}{x^2-1},\quad x\neq\pm1.

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