Resolva as integrais de superfície em campo escalar:
\iint_{S} x^{2} y z d S em que S é o triângulo formado pelos pontos (1,3,2),(-1,2,1) e (1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de um campo escalar
f(x,y,z)=x^{2}yz
sobre o triângulo S com vértices A=(1,3,2), B=(-1,2,1), C=(1,0,1).
Conteúdo: parametrização de superfícies planas em \mathbb{R}^3 e cálculo de \displaystyle\iint_{S}f\,dS usando \displaystyle dS=|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv.

Passo 2

Escolhemos a parametrização afim
\mathbf r(u,v)=A + u\,(B-A) + v\,(C-A),
com \;u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1.
Aqui
B-A = (-1-1,\;2-3,\;1-2)=(-2,-1,-1),\quad C-A=(1-1,\;0-3,\;1-2)=(0,-3,-1).

Passo 3

Calculamos o vetor normal não unitário
\mathbf r_u\times \mathbf r_v =(B-A)\times(C-A) =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ -2&-1&-1\\\\ 0&-3&-1 \end{vmatrix} =(-2,-2,6).
Logo
\bigl|\mathbf r_u\times \mathbf r_v\bigr| =\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+6^2} =2\sqrt{11},
e assim dS=2\sqrt{11}\,du\,dv.

Passo 4

Expressamos \mathbf r(u,v) em coordenadas:
x=1-2u,\quad y=3-u-3v,\quad z=2-u-v.
O integrando fica
f\bigl(\mathbf r(u,v)\bigr) =(1-2u)^2\,(3-u-3v)\,(2-u-v).
A integral de superfície é
\iint_{S}x^2yz\,dS =2\sqrt{11} \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1-u} (1-2u)^2(3-u-3v)(2-u-v)\,dv\,du.

Passo 5

Expande-se o polinômio em u,v e usa-se a fórmula
\iint_{u\ge0,v\ge0,u+v\le1}u^a v^b\,dv\,du =\frac{a!\,b!}{(a+b+2)!}.
Após expansão e soma de termos obtém-se
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1-u} (1-2u)^2(3-u-3v)(2-u-v)\,dv\,du =\frac{2}{5}.

Passo 6

Multiplicando pelo fator de área 2\sqrt{11} vem
\iint_{S}x^2yz\,dS =2\sqrt{11}\,\frac{2}{5} =\frac{4\sqrt{11}}{5}.

Resposta

\frac{4\sqrt{11}}{5}

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