Calcule as derivadas:
\varphi(x)=\ln \left|x+\sqrt{1+x^{2}}\right|

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
\varphi(x)=\ln\Bigl|x+\sqrt{1+x^{2}}\Bigr|
Este é um problema de derivada de logaritmo envolvendo função composta, então vamos usar a regra da cadeia e a derivada de \ln|u|.

Passo 2

Defina
u(x)=x+\sqrt{1+x^{2}}.
A derivada de \sqrt{1+x^{2}} é
\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^{2}} =\frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},
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u'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Passo 3

Como
\varphi(x)=\ln\lvert u(x)\rvert,
a regra da cadeia para o logaritmo dá
\varphi'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) obtemos
\varphi'(x) =\frac{1 + \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}} {x + \sqrt{1+x^{2}}}.
Para simplificar, multiplique numerador e denominador por \sqrt{1+x^{2}}:
\varphi'(x) =\frac{\sqrt{1+x^{2}}+x} {\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr)\sqrt{1+x^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Resposta

\varphi'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.

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