Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas. Informações importantes fornecidas:
Observação imediata: a função, na forma dada, não está definida em
porque o denominador é zero. Vamos primeiro achar a derivada para
. Depois eu explico o que acontece em
se estendermos a função de forma contínua.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- Regra do quociente: se
com , então
Aqui
e
são funções de
. A regra diz: deriva o numerador, multiplica pelo denominador; subtrai o numerador vezes a derivada do denominador; divide pelo quadrado do denominador. É só aplicar calmamente.
- Regra da cadeia e derivada de seno: se
, então
No nosso caso
, cuja derivada é
. Também sabemos que
.
Vou mostrar um exemplo rápido para fixar: se
então
. É a regra da cadeia em ação.
Passo 3
Identificamos as partes para aplicar a regra do quociente:
Agora calculamos
e
.
Derivada do numerador (aplicando regra da cadeia):
Derivada do denominador:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Portanto, para
,
Passo 5
Podemos escrever a mesma derivada em forma alternativa, talvez mais intuitiva:
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que você achar mais confortável na hora da prova. Lembre-se: essa expressão só vale diretamente para
, porque envolve divisão por
.
Passo 6
Comentário útil sobre
(motivacional e prático): muitas questões gostam de saber o que ocorre em pontos singulares. Se estendermos a função por continuidade em
(definindo o valor pelo limite), temos
onde fiz a substituição
. Assim a extensão contínua em
vale
. Pergunta natural: essa extensão é diferenciável em
? Ou seja, existe
após estender?
Para calcular a derivada no ponto estendido usamos a definição (ou L’Hôpital duas vezes): considere
Aplicando L’Hôpital duas vezes (ou usando série de Taylor) obtém-se que esse limite é
. Logo a extensão contínua é diferenciável em
e o valor da derivada no ponto estendido é
.