Calcule as derivadas:
y=\frac{\operatorname{sen}(x-4)}{x-4}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{\operatorname{sen}(x-4)}{x-4}
e pede para calcular as derivadas. Informações importantes fornecidas:
\text{numerador: } \operatorname{sen}(x-4), \qquad \text{denominador: } x-4.
Observação imediata: a função, na forma dada, não está definida em x=4 porque o denominador é zero. Vamos primeiro achar a derivada para x\neq4. Depois eu explico o que acontece em x=4 se estendermos a função de forma contínua.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  1. Regra do quociente: se y=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
y'=\frac{v(x)\,u'(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u e v são funções de x. A regra diz: deriva o numerador, multiplica pelo denominador; subtrai o numerador vezes a derivada do denominador; divide pelo quadrado do denominador. É só aplicar calmamente.
  1. Regra da cadeia e derivada de seno: se u(x)=\sin(g(x)), então
u'(x)=\cos(g(x))\cdot g'(x).
No nosso caso g(x)=x-4, cuja derivada é 1. Também sabemos que \dfrac{d}{dx}(x-4)=1.
Vou mostrar um exemplo rápido para fixar: se h(x)=\sin(2x) então h'(x)=\cos(2x)\cdot 2. É a regra da cadeia em ação.

Passo 3

Identificamos as partes para aplicar a regra do quociente:
u(x)=\sin(x-4), \qquad v(x)=x-4.
Agora calculamos u'(x) e v'(x).
Derivada do numerador (aplicando regra da cadeia):
u'(x)=\cos(x-4)\cdot \frac{d}{dx}(x-4)=\cos(x-4)\cdot 1=\cos(x-4).
Derivada do denominador:
v'(x)=\frac{d}{dx}(x-4)=1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
y'=\frac{v(x)\,u'(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(x-4)\cos(x-4)-\sin(x-4)\cdot 1}{(x-4)^{2}}.
Portanto, para x\neq4,
y'=\frac{(x-4)\cos(x-4)-\sin(x-4)}{(x-4)^{2}}.

Passo 5

Podemos escrever a mesma derivada em forma alternativa, talvez mais intuitiva:
y'=\frac{\cos(x-4)}{x-4}-\frac{\sin(x-4)}{(x-4)^{2}}.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que você achar mais confortável na hora da prova. Lembre-se: essa expressão só vale diretamente para x\neq4, porque envolve divisão por x-4.

Passo 6

Comentário útil sobre x=4 (motivacional e prático): muitas questões gostam de saber o que ocorre em pontos singulares. Se estendermos a função por continuidade em x=4 (definindo o valor pelo limite), temos
\lim_{x\to4}\frac{\sin(x-4)}{x-4}=\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1,
onde fiz a substituição t=x-4. Assim a extensão contínua em x=4 vale 1. Pergunta natural: essa extensão é diferenciável em x=4? Ou seja, existe y'(4) após estender?
Para calcular a derivada no ponto estendido usamos a definição (ou L’Hôpital duas vezes): considere
\lim_{t\to0}\frac{\frac{\sin t}{t}-1}{t}=\lim_{t\to0}\frac{\sin t - t}{t^{2}}.
Aplicando L’Hôpital duas vezes (ou usando série de Taylor) obtém-se que esse limite é 0. Logo a extensão contínua é diferenciável em x=4 e o valor da derivada no ponto estendido é 0.

Resposta

y'=\frac{(x-4)\cos(x-4)-\sin(x-4)}{(x-4)^{2}}\quad (x\neq4)
\text{Se estendermos por continuidade em }x=4\text{, então }y(4)=1\text{ e }y'(4)=0.ã

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