Calcule as derivadas:
y=\operatorname{sen}\left(e^{x}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função dada. Informações fornecidas:
y=\operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}+1\bigr).
Queremos a derivada de y em relação a x, isto é \dfrac{dy}{dx} (ou y').

Passo 2

Identifiquemos a estrutura da função: é uma composição. Definimos uma função interna u(x) e a função externa aplicada a u:
u(x)=e^{x}+1
e
y=\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr).
Isso significa que primeiro calculamos u(x) e depois aplicamos o seno sobre u.

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia (a técnica natural para derivar composições). A regra da cadeia diz o seguinte:
\text{Se }y=f(u)\text{ e }u=u(x),\text{ então }\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot\frac{du}{dx}.ã
Aqui f'(u) é a derivada da função externa f avaliada em u, e \dfrac{du}{dx} é a derivada da função interna. Em palavras: derivamos a função de fora mantendo o interior igual, e depois multiplicamos pela derivada do interior.

Passo 4

Derivada da função externa: se f(u)=\operatorname{sen}(u), então
f'(u)=\cos(u).
Expliquei: a derivada do seno é o cosseno; isso vale para qualquer argumento u.

Passo 5

Derivada da função interna: u(x)=e^{x}+1. A derivada de e^{x} é e^{x} e a derivada de uma constante é 0. Logo,
\frac{du}{dx}=e^{x}+0=e^{x}.
Ou seja, a função exponencial se diferencia para ela mesma.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia: substituímos f'(u)=\cos(u) e \dfrac{du}{dx}=e^{x} e lembramos que u(x)=e^{x}+1. Assim
\frac{dy}{dx}=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot e^{x}=\cos\bigl(e^{x}+1\bigr)\cdot e^{x}.
Podemos ordenar os fatores como preferir, por exemplo colocando e^{x} à esquerda:
\frac{dy}{dx}=e^{x}\cos\bigl(e^{x}+1\bigr).

Passo 7

Verificação rápida (para pegar segurança): em x=0 a derivada vale
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0}=e^{0}\cos\bigl(e^{0}+1\bigr)=1\cdot\cos(1+1)=\cos(2),
o que faz sentido numericamente. Isso só para você ter confiança de que a expressão final está consistente.

Passo 8

Resumo do procedimento que você pode aplicar na prova: 1) identifique a função externa e a interna; 2) derive a externa (mantendo o interior); 3) derive a interna; 4) multiplique os resultados. Tá feito — respira fundo e repete umas vezes para fixar.

Resposta

\frac{dy}{dx}=e^{x}\cos\bigl(e^{x}+1\bigr)

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