Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função dada. Informações fornecidas:
Queremos a derivada de
em relação a
, isto é
(ou
).
Passo 2
Identifiquemos a estrutura da função: é uma composição. Definimos uma função interna
e a função externa aplicada a
:
e
Isso significa que primeiro calculamos
e depois aplicamos o seno sobre
.
Passo 3
Vamos usar a regra da cadeia (a técnica natural para derivar composições). A regra da cadeia diz o seguinte:
Aqui
é a derivada da função externa
avaliada em
, e
é a derivada da função interna. Em palavras: derivamos a função de fora mantendo o interior igual, e depois multiplicamos pela derivada do interior.
Passo 4
Derivada da função externa: se
, então
Expliquei: a derivada do seno é o cosseno; isso vale para qualquer argumento
.
Passo 5
Derivada da função interna:
. A derivada de
é
e a derivada de uma constante é
. Logo,
Ou seja, a função exponencial se diferencia para ela mesma.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia: substituímos
e
e lembramos que
. Assim
Podemos ordenar os fatores como preferir, por exemplo colocando
à esquerda:
Passo 7
Verificação rápida (para pegar segurança): em
a derivada vale
o que faz sentido numericamente. Isso só para você ter confiança de que a expressão final está consistente.
Passo 8
Resumo do procedimento que você pode aplicar na prova: 1) identifique a função externa e a interna; 2) derive a externa (mantendo o interior); 3) derive a interna; 4) multiplique os resultados. Tá feito — respira fundo e repete umas vezes para fixar.