Calcule as derivadas:
y=\frac{5}{x-3}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{5}{x-3}
e pede para calcular as derivadas. Informações relevantes que temos:
  • A função está definida para x\neq 3 (pois no ponto x=3 o denominador é zero).
  • Vou calcular a primeira derivada y'. Como o enunciado diz “derivadas” no plural, também vou calcular a segunda derivada y'' para te deixar tranquilo na prova.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a escrita para aplicar a regra de derivação que é mais direta. Reescrevemos a função usando expoente negativo:
y=5(x-3)^{-1}.
Explicação / mini-aula (regra que vou usar): quando temos uma função do tipo (u(x))^{n}, a derivada é dada pela regra da cadeia combinada com a regra do poder:
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{n}\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna (no nosso caso u(x)=x-3), n é o expoente (aqui n=-1), e u'(x) é a derivada de u em relação a x. A ideia é: trazemos o expoente para frente, diminuímos o expoente em 1, e multiplicamos pela derivada da parte interna. Não tem mistério — é a regra do poder + cadeia.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função \;y=5(x-3)^{-1}\;:
  • A constante 5 pode ficar multiplicando.
  • Tome u(x)=x-3, então u'(x)=1.
  • Tome n=-1.
Assim,
y' = 5\cdot\big(-1\big)\,(x-3)^{-2}\cdot 1.
Simplificando os fatores numéricos:
y' = -5\,(x-3)^{-2}.
Reescrevendo sem expoente negativo (forma de fração):
y' = -\frac{5}{(x-3)^{2}}.
Comentário didático: isso mostra que a derivada é sempre negativa (para x\neq 3) e que cresce em módulo quando x se aproxima de 3, porque o denominador fica pequeno.

Passo 4

Agora a segunda derivada. Partimos de
y' = -5\,(x-3)^{-2}.
Aplicamos novamente a regra do poder + cadeia com n=-2 e u(x)=x-3 (logo u'(x)=1):
y'' = -5\cdot(-2)\,(x-3)^{-3}\cdot 1.
Calculando os fatores numéricos:
y'' = 10\,(x-3)^{-3}.
Em forma de fração:
y'' = \frac{10}{(x-3)^{3}}.
Comentário final: a segunda derivada é positiva quando x>3 e negativa quando x<3, mostrando mudança de concavidade em torno de x=3 (observe que x=3 não pertence ao domínio).

Resposta

y' = -\dfrac{5}{(x-3)^{2}}
y'' = \dfrac{10}{(x-3)^{3}}

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