Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas. Informações relevantes que temos:
- A função está definida para
(pois no ponto o denominador é zero). - Vou calcular a primeira derivada
. Como o enunciado diz “derivadas” no plural, também vou calcular a segunda derivada para te deixar tranquilo na prova.
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a escrita para aplicar a regra de derivação que é mais direta. Reescrevemos a função usando expoente negativo:
Explicação / mini-aula (regra que vou usar): quando temos uma função do tipo
, a derivada é dada pela regra da cadeia combinada com a regra do poder:
Aqui
é a função interna (no nosso caso
),
é o expoente (aqui
), e
é a derivada de
em relação a
. A ideia é: trazemos o expoente para frente, diminuímos o expoente em 1, e multiplicamos pela derivada da parte interna. Não tem mistério — é a regra do poder + cadeia.
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa função
:
- A constante
pode ficar multiplicando. - Tome
, então . - Tome
.
Assim,
Simplificando os fatores numéricos:
Reescrevendo sem expoente negativo (forma de fração):
Comentário didático: isso mostra que a derivada é sempre negativa (para
) e que cresce em módulo quando
se aproxima de
, porque o denominador fica pequeno.
Passo 4
Agora a segunda derivada. Partimos de
Aplicamos novamente a regra do poder + cadeia com
e
(logo
):
Calculando os fatores numéricos:
Em forma de fração:
Comentário final: a segunda derivada é positiva quando
e negativa quando
, mostrando mudança de concavidade em torno de
(observe que
não pertence ao domínio).