Calcule as derivaras das funções utilizando a regra da cadeia (derivada da função composta).
f(x)=\frac{x \cos (x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{x\cos(x)}{x^{2}}
e pede para calcular a derivada usando a regra da cadeia (derivada de função composta). Observação importante: a expressão pode ser simplificada para f(x)=\frac{\cos x}{x}\quad\text{para }\;x\neq 0.
Portanto queremos encontrar f'(x) para x\neq 0.

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos a função como produto de duas funções mais simples:
f(x)=\cos x \cdot x^{-1}.
Essa escrita permite usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia (quando diferenciarmos \cos x) e a regra do poder (para x^{-1}).

Passo 3

Vou lembrar as regras que vamos usar (com explicação curta e clara):
\text{Regra do produto: }(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
Aqui u(x) e v(x) são funções quaisquer; u' é a derivada de u e v' a derivada de v.
\text{Regra da cadeia: }\frac{d}{dx}\big(g(h(x))\big)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Isto diz que, para derivar uma composição g\circ h, derivamos g em relação ao argumento (avaliado em h(x)) e multiplicamos pela derivada de h.
\text{Regra do poder: }\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
válida para qualquer número real n.
Também usaremos que a derivada da função cosseno é (aplicando a regra da cadeia com g(t)=\cos t e t=x)
\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.

Passo 4

Identificamos as partes do produto:
u(x)=\cos x,\qquad v(x)=x^{-1}.
Calculamos as derivadas de cada uma:
  • Para u(x)=\cos x, aplicando a regra da cadeia com g(t)=\cos t e t=x, obtemos
u'(x)=-\sin x.
  • Para v(x)=x^{-1}, aplicando a regra do poder com n=-1, obtemos
v'(x)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Expliquei cada passo: derivada de \cos x é -\sin x porque derivamos a função externa \cos e multiplicamos pela derivada do argumento x (que é 1). Para x^{-1} usamos a fórmula n x^{n-1}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=(-\sin x)\cdot x^{-1} + (\cos x)\cdot(-x^{-2}).
Escrevendo em forma de fração:
f'(x)=-\frac{\sin x}{x}-\frac{\cos x}{x^{2}}.

Passo 6

Unificamos em um único denominador x^{2} para deixar o resultado mais compacto:
-\frac{\sin x}{x}-\frac{\cos x}{x^{2}}=-\frac{x\sin x}{x^{2}}-\frac{\cos x}{x^{2}}=-\frac{x\sin x+\cos x}{x^{2}}.
Lembrando novamente que essa expressão vale para x\neq 0, que é o domínio onde a função original (após simplificação) está definida.

Resposta

f'(x)=-\frac{x\sin x+\cos x}{x^{2}},\quad x\neq 0

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