Calcule as derivaras das funções utilizando a regra da cadeia (derivada da função composta).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada usando a regra da cadeia (derivada de função composta). Observação importante: a expressão pode ser simplificada para
Portanto queremos encontrar
para
.
Passo 2
Para facilitar, reescrevemos a função como produto de duas funções mais simples:
Essa escrita permite usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia (quando diferenciarmos
) e a regra do poder (para
).
Passo 3
Vou lembrar as regras que vamos usar (com explicação curta e clara):
Aqui
e
são funções quaisquer;
é a derivada de
e
a derivada de
.
Isto diz que, para derivar uma composição
, derivamos
em relação ao argumento (avaliado em
) e multiplicamos pela derivada de
.
válida para qualquer número real
.
Também usaremos que a derivada da função cosseno é (aplicando a regra da cadeia com
e
)
Passo 4
Identificamos as partes do produto:
Calculamos as derivadas de cada uma:
- Para
, aplicando a regra da cadeia com e , obtemos
- Para
, aplicando a regra do poder com , obtemos
Expliquei cada passo: derivada de
é
porque derivamos a função externa
e multiplicamos pela derivada do argumento
(que é
). Para
usamos a fórmula
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
:
Escrevendo em forma de fração:
Passo 6
Unificamos em um único denominador
para deixar o resultado mais compacto:
Lembrando novamente que essa expressão vale para
, que é o domínio onde a função original (após simplificação) está definida.