Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=y z e^{x y z} \vec{i}+x z e^{x y z} \vec{j}+x y e^{x y z} \vec{k}
a) Encontre sua função potencial
b)Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} se C for a espiral descrita pelo caminho:
g(t)=5 \cos (t) \vec{i}+5 \sin (t) \vec{j}+t^{2} \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}
\left(\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=e^{x y z}+C \quad, \quad W=\left[e^{\frac{25 \pi^{2}}{32}}-1\right] J\right)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=y z e^{x y z}\,\vec{i}+x z e^{x y z}\,\vec{j}+x y e^{x y z}\,\vec{k}
e pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar uma função potencial para \vec{F} (ou seja, um escalar f(x,y,z) tal que \nabla f=\vec{F}).
  2. (b) Calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} onde C é a curva parametrizada por
g(t)=5\cos(t)\,\vec{i}+5\sin(t)\,\vec{j}+t^{2}\,\vec{k},\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{4}.
Informações relevantes dadas: componentes explícitas de \vec{F} e parametrização g(t) do caminho C. A resolução seguirá encontrando f e usando-a para avaliar a integral de linha (teorema fundamental para gradientes).

Passo 2

O que é uma função potencial e como vamos encontrar?
  • Uma função escalar f(x,y,z) é potencial de \vec{F} se, componente a componente,
\frac{\partial f}{\partial x}=F_x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=F_y,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=F_z.
  • Plano de ataque prático: integrar a primeira equação em x para obter f (até uma “constante” que pode depender de y,z); depois usar as outras componentes para determinar essa dependência. Vou aplicar isso passo a passo e explicar cada operação.

Passo 3

Integrando a primeira componente com respeito a x. Temos F_x=y z e^{x y z}. Tratando y e z como constantes ao integrar em x:
f(x,y,z)=\int y z e^{x y z}\,dx.
Para integrar, lembre que \frac{d}{dx}\big(e^{x y z}\big)=y z e^{x y z} porque y,z são constantes na diferenciação em x. Assim a primitiva é simplesmente
f(x,y,z)=e^{x y z}+h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.
Comentário didático: aqui usei a regra da cadeia ao contrário — reconheci que a derivada de e^{x y z} em relação a x produz exatamente y z e^{x y z}. Esse reconhecimento é um truque muito útil em provas e exercícios.

Passo 4

Determinar h(y,z) usando a segunda componente. Diferencie o f obtido em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y z}\big)+\frac{\partial h}{\partial y}.
Aplicando a regra da cadeia: \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y z}\big)=x z e^{x y z}. Então
\frac{\partial f}{\partial y}=x z e^{x y z}+\frac{\partial h}{\partial y}.
Mas pela definição de potencial essa derivada deve ser igual à componente F_y, que é x z e^{x y z}. Igualando:
x z e^{x y z}+\frac{\partial h}{\partial y}=x z e^{x y z}.
Daí obtemos
\frac{\partial h}{\partial y}=0.
Logo h não depende de y; podemos escrever h(y,z)=k(z), uma função apenas de z.
Comentário didático: essa etapa é sobre consistência entre as componentes — a “constante” de integração pode depender das outras variáveis, então usamos as demais equações para fixá-la.

Passo 5

Determinar k(z) usando a terceira componente. Agora temos
f(x,y,z)=e^{x y z}+k(z).
Diferenciando em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x y z}\big)+k'(z).
Pela regra da cadeia, \frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x y z}\big)=x y e^{x y z}. Então
\frac{\partial f}{\partial z}=x y e^{x y z}+k'(z).
Essa expressão deve igualar F_z, que é x y e^{x y z}. Igualando:
x y e^{x y z}+k'(z)=x y e^{x y z}.
Logo
k'(z)=0,
portanto k(z) é constante. Denotando essa constante por C, concluímos
f(x,y,z)=e^{x y z}+C.
Comentário didático: ao final vimos que não há dependência extra — a potencial é, salvo uma constante aditiva, e^{x y z}. Isso também pode ser verificado calculando \nabla(e^{x y z}) diretamente e checando que dá \vec{F}.

Passo 6

Resumo da parte (a): a função potencial encontrada é
f(x,y,z)=e^{x y z}+C.
Vou agora usar esse potencial para calcular a integral de linha. Lembre o teorema fundamental para gradientes: se \vec{F}=\nabla f em um domínio que contém a curva C, então
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f\big(\text{ponto final}\big)-f\big(\text{ponto inicial}\big).
Isso evita calcular a integral componente a componente; basta avaliar f nos extremos da parametrização.

Passo 7

Identificar pontos inicial e final da curva C. A curva é g(t)=\big(5\cos t,\,5\sin t,\,t^{2}\big), com t variando de 0 até \pi/4.
  • Ponto inicial (em t=0):
g(0)=\big(5\cos 0,\,5\sin 0,\,0^{2}\big)=(5,0,0).
  • Ponto final (em t=\pi/4):
g\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(5\cos\frac{\pi}{4},\,5\sin\frac{\pi}{4},\,\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}\right).
Como \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, temos
g\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2},\,\frac{5\sqrt{2}}{2},\,\frac{\pi^{2}}{16}\right).

Passo 8

Calcular f nos extremos. Precisamos de x y z em cada extremo porque f=e^{x y z}+C.
  • No ponto inicial (5,0,0) temos x y z = 5\cdot 0\cdot 0 = 0. Então
f(5,0,0)=e^{0}+C=1+C.
  • No ponto final \left(\frac{5\sqrt{2}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2},\frac{\pi^{2}}{16}\right) temos
x y = \frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{25\cdot 2}{4}=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}.
Então
x y z=\frac{25}{2}\cdot \frac{\pi^{2}}{16}=\frac{25\pi^{2}}{32}.
Portanto
f\!\left(g\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=e^{\frac{25\pi^{2}}{32}}+C.
Comentário didático: outra maneira rápida (equivalente) de ver x y z ao longo da curva é escrever x=5\cos t,\;y=5\sin t,\;z=t^{2} e observar que x y z=25\cos t\sin t\cdot t^{2}=(25/2) t^{2}\sin(2t). Avaliando em t=\pi/4 dá o mesmo resultado porque \sin(\pi/2)=1.

Passo 9

Aplicar o teorema fundamental para gradientes e subtrair as avaliações:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f\!\left(g\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)-f\!\big(g(0)\big) =\big(e^{\frac{25\pi^{2}}{32}}+C\big)-\big(1+C\big)=e^{\frac{25\pi^{2}}{32}}-1.
A constante C cancela, como esperado; a integral de linha é independente da escolha de C.
Comentário final e incentivo: pronto — vimos como reconhecer uma primitiva usando identificação com a derivada de e^{x y z}, como verificar consistência com as demais componentes, e como aplicar o teorema fundamental para gradientes para calcular a integral de linha sem integrar componente a componente. Se você quiser, a gente pode refazer a integral diretamente pelo parâmetro (calc. de \int \vec{F}(g(t))\cdot g'(t)\,dt) como checagem numérica passo a passo.

Resposta

f(x,y,z)=e^{x y z}+C\n
\displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=e^{\frac{25\pi^{2}}{32}}-1

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