Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=y z e^{x y z} \vec{i}+x z e^{x y z} \vec{j}+x y e^{x y z} \vec{k}
a) Encontre sua função potencial
b)Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} se C for a espiral descrita pelo caminho:
Informações relevantes dadas: componentes explícitas de \vec{F} e parametrização g(t) do caminho C. A resolução seguirá encontrando f e usando-a para avaliar a integral de linha (teorema fundamental para gradientes).
Passo 2
O que é uma função potencial e como vamos encontrar?
Uma função escalar f(x,y,z) é potencial de \vec{F} se, componente a componente,
Plano de ataque prático: integrar a primeira equação em x para obter f (até uma “constante” que pode depender de y,z); depois usar as outras componentes para determinar essa dependência. Vou aplicar isso passo a passo e explicar cada operação.
Passo 3
Integrando a primeira componente com respeito a x. Temos F_x=y z e^{x y z}. Tratando y e z como constantes ao integrar em x:
f(x,y,z)=\int y z e^{x y z}\,dx.
Para integrar, lembre que \frac{d}{dx}\big(e^{x y z}\big)=y z e^{x y z} porque y,z são constantes na diferenciação em x. Assim a primitiva é simplesmente
f(x,y,z)=e^{x y z}+h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.
Comentário didático: aqui usei a regra da cadeia ao contrário — reconheci que a derivada de e^{x y z} em relação a x produz exatamente y z e^{x y z}. Esse reconhecimento é um truque muito útil em provas e exercícios.
Passo 4
Determinar h(y,z) usando a segunda componente. Diferencie o f obtido em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y z}\big)+\frac{\partial h}{\partial y}.
Aplicando a regra da cadeia: \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y z}\big)=x z e^{x y z}. Então
\frac{\partial f}{\partial y}=x z e^{x y z}+\frac{\partial h}{\partial y}.
Mas pela definição de potencial essa derivada deve ser igual à componente F_y, que é x z e^{x y z}. Igualando:
x z e^{x y z}+\frac{\partial h}{\partial y}=x z e^{x y z}.
Daí obtemos
\frac{\partial h}{\partial y}=0.
Logo h não depende de y; podemos escrever h(y,z)=k(z), uma função apenas de z.
Comentário didático: essa etapa é sobre consistência entre as componentes — a “constante” de integração pode depender das outras variáveis, então usamos as demais equações para fixá-la.
Passo 5
Determinar k(z) usando a terceira componente. Agora temos
f(x,y,z)=e^{x y z}+k(z).
Diferenciando em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x y z}\big)+k'(z).
Pela regra da cadeia, \frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x y z}\big)=x y e^{x y z}. Então
\frac{\partial f}{\partial z}=x y e^{x y z}+k'(z).
Essa expressão deve igualar F_z, que é x y e^{x y z}. Igualando:
x y e^{x y z}+k'(z)=x y e^{x y z}.
Logo
k'(z)=0,
portanto k(z) é constante. Denotando essa constante por C, concluímos
f(x,y,z)=e^{x y z}+C.
Comentário didático: ao final vimos que não há dependência extra — a potencial é, salvo uma constante aditiva, e^{x y z}. Isso também pode ser verificado calculando \nabla(e^{x y z}) diretamente e checando que dá \vec{F}.
Passo 6
Resumo da parte (a): a função potencial encontrada é
f(x,y,z)=e^{x y z}+C.
Vou agora usar esse potencial para calcular a integral de linha. Lembre o teorema fundamental para gradientes: se \vec{F}=\nabla f em um domínio que contém a curva C, então
Comentário didático: outra maneira rápida (equivalente) de ver x y z ao longo da curva é escrever x=5\cos t,\;y=5\sin t,\;z=t^{2} e observar que x y z=25\cos t\sin t\cdot t^{2}=(25/2) t^{2}\sin(2t). Avaliando em t=\pi/4 dá o mesmo resultado porque \sin(\pi/2)=1.
Passo 9
Aplicar o teorema fundamental para gradientes e subtrair as avaliações:
A constante C cancela, como esperado; a integral de linha é independente da escolha de C.
Comentário final e incentivo: pronto — vimos como reconhecer uma primitiva usando identificação com a derivada de e^{x y z}, como verificar consistência com as demais componentes, e como aplicar o teorema fundamental para gradientes para calcular a integral de linha sem integrar componente a componente. Se você quiser, a gente pode refazer a integral diretamente pelo parâmetro (calc. de \int \vec{F}(g(t))\cdot g'(t)\,dt) como checagem numérica passo a passo.
Resposta
f(x,y,z)=e^{x y z}+C\n \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=e^{\frac{25\pi^{2}}{32}}-1