Verifique ambas as partes do teorema de Green para o campo
e a região D delimitada pela elipse
Passo 1
O enunciado pede para verificar ambas as partes do Teorema de Green para o campo
na região
limitada pela elipse
Informações dadas e o que devemos calcular:
- O campo tem componentes
e . - A curva
é a elipse indicada, orientada positivamente (no sentido anti-horário). - Devemos verificar:
- A parte de circulação do Teorema de Green: a igualdade entre
e . - A parte de fluxo do Teorema de Green: a igualdade entre
e .
- A parte de circulação do Teorema de Green: a igualdade entre
- Observação: a elipse tem semi-eixos
(no eixo ) e (no eixo ).
Passo 2
Apresento as duas fórmulas de Green que vamos usar e o que cada termo significa (aqui uma “aula rápida”):
- Circulação (forma rotacional): a versão que liga a integral de linha do campo tangencial à integral do rotacional sobre a região.
Explicando:
é o produto escalar
(componente tangencial). A função
é o rotacional escalar (em 2D) do campo; integrar esse rotacional sobre
dá a circulação total ao redor da fronteira.
- Fluxo (forma divergente): a versão que liga a integral de linha do campo normal à integral da divergência.
Explicando:
é uma forma que, para curva orientada positivamente, dá o fluxo saída (normal) do campo pela fronteira; a função
é a divergência do campo.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais necessárias (mostrando passo a passo):
-
e . - Derivadas para o rotacional:
Portanto o rotacional é
Observação: é uma função constante igual a
em todo o plano.
- Derivadas para a divergência:
Portanto a divergência é
também uma constante (igual a
).
Passo 4
Calculo a área da região
(é útil porque as integrais duplas das constantes ficam fáceis):
- Para uma elipse com semi-eixos
e , a área é . - Aqui
e , logo
Passo 5
Avalio as integrais duplas (lado direito de cada versão do teorema), usando que rotacional e divergência são constantes:
- Para a circulação:
- Para o fluxo:
Passo 6
Agora calculo as integrais de linha diretamente (lado esquerdo de cada versão) para verificar as igualdades. Primeiro parametrize a fronteira
de forma simples:
- Parametrização padrão da elipse (sentido anti-horário):
- Derivadas:
Passo 7
Integral de circulação
via parametrização:
- Substituo
, , , :
Assim o integrando é
- Faço as contas com calma:
Somando:
Agrupo
:
- Integro de
a : O termo é função com média zero no período (produto de e ), então sua integral é . Logo resta - Conclusão: a integral de linha da circulação é
, igual à integral dupla calculada no Passo 5.
Passo 8
Integral de fluxo
via parametrização:
- Substituo novamente
, , , : - Faço as contas:
Somando:
- Integro de
a : O termo também tem média zero no período , então sua integral é . Para , uso a identidade : - Conclusão: a integral de linha do fluxo é
, igual à integral dupla calculada no Passo 5.
Passo 9
Conclusão final (interpretação e comparação):
- Verificamos ambas as partes do Teorema de Green:
- A integral de linha de
ao redor da elipse vale , que coincide com . - A integral de linha de
ao redor da elipse vale , que coincide com .
- A integral de linha de
- Observação motivadora: como rotacional e divergência eram constantes, tudo ficou bem simples — bastou multiplicar pela área da elipse. Dá para usar esse tipo de ideia na prova para economizar tempo: sempre que o integrando for constante, reduza o problema à área da região.
Resposta
Integral de circulação
.
Integral de fluxo
.