Verifique ambas as partes do teorema de Green para o campo \mathbf{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}-\mathrm{y}) \mathbf{i}+\mathrm{x} \mathbf{j} e a região D delimitada pela elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 . \quad\left(I=12 \pi \mathrm{~m}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar ambas as partes do Teorema de Green para o campo \mathbf{F}(x,y)=(x-y)\mathbf{i}+x\mathbf{j} na região D limitada pela elipse
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Informações dadas e o que devemos calcular:
  • O campo tem componentes P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x.
  • A curva \partial D é a elipse indicada, orientada positivamente (no sentido anti-horário).
  • Devemos verificar:
    1. A parte de circulação do Teorema de Green: a igualdade entre \displaystyle\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy e \displaystyle\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.
    2. A parte de fluxo do Teorema de Green: a igualdade entre \displaystyle\oint_{\partial D} P\,dy - Q\,dx e \displaystyle\iint_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)dA.
  • Observação: a elipse tem semi-eixos a=3 (no eixo x) e b=2 (no eixo y).

Passo 2

Apresento as duas fórmulas de Green que vamos usar e o que cada termo significa (aqui uma “aula rápida”):
  • Circulação (forma rotacional): a versão que liga a integral de linha do campo tangencial à integral do rotacional sobre a região.
\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Explicando: P\,dx+Q\,dy é o produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} (componente tangencial). A função \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} é o rotacional escalar (em 2D) do campo; integrar esse rotacional sobre D dá a circulação total ao redor da fronteira.
  • Fluxo (forma divergente): a versão que liga a integral de linha do campo normal à integral da divergência.
\oint_{\partial D} P\,dy - Q\,dx = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) dA.
Explicando: P\,dy - Q\,dx é uma forma que, para curva orientada positivamente, dá o fluxo saída (normal) do campo pela fronteira; a função \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} é a divergência do campo.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais necessárias (mostrando passo a passo):
  • P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x.
  • Derivadas para o rotacional: \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x-y) = -1.
Portanto o rotacional é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.
Observação: é uma função constante igual a 2 em todo o plano.
  • Derivadas para a divergência: \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x-y) = 1,
\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0.
Portanto a divergência é
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} = 1 + 0 = 1,
também uma constante (igual a 1).

Passo 4

Calculo a área da região D (é útil porque as integrais duplas das constantes ficam fáceis):
  • Para uma elipse com semi-eixos a e b, a área é \pi a b.
  • Aqui a=3 e b=2, logo \text{área}(D)=\pi\cdot 3\cdot 2 = 6\pi.á

Passo 5

Avalio as integrais duplas (lado direito de cada versão do teorema), usando que rotacional e divergência são constantes:
  • Para a circulação: \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA = \iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \text{área}(D) = 2\cdot 6\pi = 12\pi.á
  • Para o fluxo: \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) dA = \iint_{D} 1\,dA = 1\cdot \text{área}(D) = 6\pi.á

Passo 6

Agora calculo as integrais de linha diretamente (lado esquerdo de cada versão) para verificar as igualdades. Primeiro parametrize a fronteira \partial D de forma simples:
  • Parametrização padrão da elipse (sentido anti-horário): x(t)=3\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
  • Derivadas: dx = x'(t)\,dt = -3\sin t\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = 2\cos t\,dt.

Passo 7

Integral de circulação \displaystyle\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy via parametrização:
  • Substituo P, Q, dx, dy: P(x(t),y(t)) = x-y = 3\cos t - 2\sin t,
Q(x(t),y(t)) = x = 3\cos t.
Assim o integrando é
P\,dx + Q\,dy = (3\cos t - 2\sin t)(-3\sin t\,dt) + (3\cos t)(2\cos t\,dt).
  • Faço as contas com calma: (3\cos t - 2\sin t)(-3\sin t) = -9\cos t\sin t +6\sin^{2}t,
(3\cos t)(2\cos t) = 6\cos^{2}t.
Somando:
P\,dx + Q\,dy = \bigl(-9\cos t\sin t +6\sin^{2}t + 6\cos^{2}t\bigr)dt.
Agrupo \sin^{2}t+\cos^{2}t=1:
P\,dx + Q\,dy = \bigl(-9\cos t\sin t +6\bigr)dt.
  • Integro de 0 a 2\pi: \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \int_{0}^{2\pi} \bigl(-9\cos t\sin t +6\bigr) dt.O termo -9\cos t\sin t é função com média zero no período 2\pi (produto de \sin e \cos), então sua integral é 0. Logo resta \int_{0}^{2\pi} 6\,dt = 6\cdot 2\pi = 12\pi.
  • Conclusão: a integral de linha da circulação é 12\pi, igual à integral dupla calculada no Passo 5.

Passo 8

Integral de fluxo \displaystyle\oint_{\partial D} P\,dy - Q\,dx via parametrização:
  • Substituo novamente P, Q, dx, dy: P\,dy - Q\,dx = (3\cos t - 2\sin t)(2\cos t\,dt) - (3\cos t)(-3\sin t\,dt).
  • Faço as contas: (3\cos t - 2\sin t)(2\cos t) = 6\cos^{2}t -4\sin t\cos t,
-(3\cos t)(-3\sin t) = +9\cos t\sin t.
Somando:
P\,dy - Q\,dx = \bigl(6\cos^{2}t +5\cos t\sin t\bigr)dt.
  • Integro de 0 a 2\pi: \oint_{\partial D} P\,dy - Q\,dx = \int_{0}^{2\pi} \bigl(6\cos^{2}t +5\cos t\sin t\bigr) dt.O termo 5\cos t\sin t também tem média zero no período 2\pi, então sua integral é 0. Para 6\cos^{2}t, uso a identidade \cos^{2}t=(1+\cos 2t)/2: \int_{0}^{2\pi} 6\cos^{2}t\,dt = 6\int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = 3\int_{0}^{2\pi} 1\,dt + 3\int_{0}^{2\pi}\cos 2t\,dt = 3\cdot 2\pi + 0 = 6\pi.
  • Conclusão: a integral de linha do fluxo é 6\pi, igual à integral dupla calculada no Passo 5.

Passo 9

Conclusão final (interpretação e comparação):
  • Verificamos ambas as partes do Teorema de Green:
    • A integral de linha de P\,dx+Q\,dy ao redor da elipse vale 12\pi, que coincide com \iint_{D}(\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y)\,dA = 12\pi.
    • A integral de linha de P\,dy-Q\,dx ao redor da elipse vale 6\pi, que coincide com \iint_{D}(\partial P/\partial x + \partial Q/\partial y)\,dA = 6\pi.
  • Observação motivadora: como rotacional e divergência eram constantes, tudo ficou bem simples — bastou multiplicar pela área da elipse. Dá para usar esse tipo de ideia na prova para economizar tempo: sempre que o integrando for constante, reduza o problema à área da região.

Resposta

Integral de circulação \displaystyle\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = 12\pi.
Integral de fluxo \displaystyle\oint_{\partial D} P\,dy - Q\,dx = 6\pi.

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