Calcule as deriviadas parciais de primeira e de segunda ordem de:
;
Passo 1
O enunciado pede que se calculem as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
As perguntas explícitas que vamos responder são:
- Calcular
e (derivadas parciais de primeira ordem). - Calcular
, , e (derivadas parciais de segunda ordem).
Vou fazer passo a passo e explicar cada regra usada.
Passo 2
Lembrete rápido (definição e regras usadas):
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é obtida derivando como se fosse a única variável, tratando como constante. - Analogamente,
deriva-se tratando como constante. - Regras básicas usadas:
- Se
então . - Se
é constante (incluindo constantes que dependem só de quando derivamos em relação a ), então . - Produto com constante: se
é constante então . - Para potência:
, no caso é a regra acima. - Para derivar termos como
em relação a , trate como constante multiplicativa: . - Para derivar termos como
em relação a , use a regra do produto (ou veja como constante multiplicativa): .
- Se
Passo 3
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
.
Começando de
derivando termo a termo em relação a
, tratando
como constante:
-
porque é constante multiplicando . -
pela mesma razão. -
porque é tratado como constante.
Somando os resultados:
Passo 4
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
.
Partindo de
derivando termo a termo em relação a
, agora tratando
como constante:
-
. -
(porque é constante e ). -
.
Somando:
Passo 5
Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos derivar as derivadas de primeira ordem conforme necessário.
-
— derivar em relação a . Como não depende de , sua derivada em relação a é . Logo
-
— derivar em relação a :
Portanto
-
— derivar em relação a :
-
, -
, -
.
Somando:. Logo
Observação: aqui verificamos que
, como esperado quando as segundas derivadas são contínuas.
-
— derivar em relação a :
-
, -
, -
.
Portanto
Passo 6
Resumo rápido e um empurrãozinho de ânimo: fizemos as derivadas tratando sempre a outra variável como constante e aplicando regras simples (derivada de potência, produto quando necessário). Essas operações são mecânicas — com prática você vai acelerar bastante. Continue praticando termos parecidos que você ficará confiante para a prova!