Calcule as deriviadas parciais de primeira e de segunda ordem de:
f(x, y)=x y^{2}+x y+y;

Passo 1

O enunciado pede que se calculem as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
f(x,y)=x y^{2}+x y+y.
As perguntas explícitas que vamos responder são:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} (derivadas parciais de primeira ordem).
  • Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (derivadas parciais de segunda ordem).
Vou fazer passo a passo e explicar cada regra usada.

Passo 2

Lembrete rápido (definição e regras usadas):
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, é obtida derivando f como se x fosse a única variável, tratando y como constante.
  • Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} deriva-se tratando x como constante.
  • Regras básicas usadas:
    • Se g(x)=x então g'(x)=1.
    • Se c é constante (incluindo constantes que dependem só de y quando derivamos em relação a x), então \dfrac{d}{dx}c=0.
    • Produto com constante: se c é constante então \dfrac{d}{dx}(c\cdot x)=c.
    • Para potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, no caso n=1 é a regra acima.
    • Para derivar termos como x y^{2} em relação a x, trate y^{2} como constante multiplicativa: \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2}.
    • Para derivar termos como x y^{2} em relação a y, use a regra do produto (ou veja x como constante multiplicativa): \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=x\cdot 2y=2xy.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x.
Começando de
f(x,y)=x y^{2}+x y+y,
derivando termo a termo em relação a x, tratando y como constante:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2} porque y^{2} é constante multiplicando x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y)=y pela mesma razão.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y)=0 porque y é tratado como constante.
Somando os resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}=y^{2}+y.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a y.
Partindo de
f(x,y)=x y^{2}+x y+y,
derivando termo a termo em relação a y, agora tratando x como constante:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=x\cdot \dfrac{d}{dy}(y^{2})=x\cdot 2y=2xy.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x (porque x é constante e \dfrac{d}{dy}y=1).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y)=1.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=2xy+x+1.

Passo 5

Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos derivar as derivadas de primeira ordem conforme necessário.
  1. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} — derivar \dfrac{\partial f}{\partial x}=y^{2}+y em relação a x. Como y^{2}+y não depende de x, sua derivada em relação a x é 0. Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=0.
  1. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} — derivar \dfrac{\partial f}{\partial x}=y^{2}+y em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}+y)=2y+1.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=2y+1.
  1. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} — derivar \dfrac{\partial f}{\partial y}=2xy+x+1 em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y,
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1,
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(1)=0.
    Somando: 2y+1. Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=2y+1.
Observação: aqui verificamos que \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}, como esperado quando as segundas derivadas são contínuas.
  1. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} — derivar \dfrac{\partial f}{\partial y}=2xy+x+1 em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x)=0,
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(1)=0.
    Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2x.

Passo 6

Resumo rápido e um empurrãozinho de ânimo: fizemos as derivadas tratando sempre a outra variável como constante e aplicando regras simples (derivada de potência, produto quando necessário). Essas operações são mecânicas — com prática você vai acelerar bastante. Continue praticando termos parecidos que você ficará confiante para a prova!

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=y^{2}+y
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2xy+x+1
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=0
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=2y+1
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=2y+1
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2x

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