Calcule os seguintes limites de funções compostas:
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a função composta
. - Ponto de interesse:
. - O que se pede: calcular
.
Informações úteis que já posso extrair imediatamente:
- No ponto
o numerador vale . - No ponto
o denominador vale , que é diferente de zero. - Como o argumento do
no ponto é , o logaritmo está definido nessa vizinhança do ponto (é preciso garantir que próximos pontos também gerem argumento positivo — vou justificar isso adiante).
Passo 2
Explique o método que vou usar (teorema da composição/continuidade) e por que ele se aplica.
- Fato: polinômios são funções contínuas. Assim,
é contínua e é contínua. - Fato: quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero. Como
em , a função é contínua em . - Fato: a função
é contínua em todo o intervalo . - Teorema da composição (explicado informalmente): se
quando e é contínua em , então . Vou aplicar isso com e acima.
Passo 3
Calcular o valor limite da função interior
no ponto e justificar que esse valor está no domínio de
.
- Como
é contínua em , tem-se - Calcular
: - Observação:
, portanto pertence ao domínio de (que é ). Pela continuidade de e do , valores de para suficientemente próximos de também são positivos, garantindo que a composição está bem definida perto do ponto.
Passo 4
Aplicar a composição contínua para concluir o limite da composta.
- Pelo teorema da composição, como
e é contínua em , segue que
Passo 5
Simplificar o resultado final, se possível.
-
, então