Calcule os seguintes limites de funções compostas:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,2)} \ln \left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a função composta \ln\!\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\right).
  • Ponto de interesse: (x,y)\to(2,2).
  • O que se pede: calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(2,2)} \ln\!\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\right).
Informações úteis que já posso extrair imediatamente:
  • No ponto (2,2) o numerador vale \;2^{2}+2^{2}=4+4=8\;.
  • No ponto (2,2) o denominador vale \;2-2+1=1\;, que é diferente de zero.
  • Como o argumento do \ln no ponto é \dfrac{8}{1}=8>0, o logaritmo está definido nessa vizinhança do ponto (é preciso garantir que próximos pontos também gerem argumento positivo — vou justificar isso adiante).

Passo 2

Explique o método que vou usar (teorema da composição/continuidade) e por que ele se aplica.
  • Fato: polinômios são funções contínuas. Assim, (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é contínua e (x,y)\mapsto x-y+1 é contínua.
  • Fato: quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero. Como \;x-y+1=1\neq0 em (2,2), a função g(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}é contínua em (2,2).
  • Fato: a função \ln é contínua em todo o intervalo (0,\infty).
  • Teorema da composição (explicado informalmente): se g(x,y)\to L quando (x,y)\to(2,2) e f é contínua em L, então f(g(x,y))\to f(L). Vou aplicar isso com f=\ln e g acima.

Passo 3

Calcular o valor limite da função interior g(x,y) no ponto e justificar que esse valor está no domínio de \ln.
  • Como g é contínua em (2,2), tem-se \lim_{(x,y)\to(2,2)} g(x,y)=g(2,2).
  • Calcular g(2,2): g(2,2)=\frac{2^{2}+2^{2}}{2-2+1}=\frac{4+4}{1}=\frac{8}{1}=8.
  • Observação: 8>0, portanto 8 pertence ao domínio de \ln (que é (0,\infty)). Pela continuidade de g e do \ln, valores de g(x,y) para (x,y) suficientemente próximos de (2,2) também são positivos, garantindo que a composição está bem definida perto do ponto.

Passo 4

Aplicar a composição contínua para concluir o limite da composta.
  • Pelo teorema da composição, como g(x,y)\to 8 e \ln é contínua em 8, segue que \lim_{(x,y)\to(2,2)} \ln\!\left(g(x,y)\right)=\ln\!\left(\lim_{(x,y)\to(2,2)} g(x,y)\right)=\ln(8).

Passo 5

Simplificar o resultado final, se possível.
  • 8=2^{3}, então \ln(8)=\ln\!\left(2^{3}\right)=3\ln 2.

Resposta

\ln(8)=3\ln 2

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