Calcule as deriviadas parciais de primeira e de segunda ordem de:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
. O que é pedido:
- Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
e . - Calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
, (ou ) e .
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
em termos de
e
:
.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma simples):
- Derivada parcial em relação a
: derivar tratando como constante. Análogo para derivada parcial em relação a . - Regra da cadeia (versão para funções exponenciais): se
, então
Aqui
é o expoente.
- Regra do produto: se uma função é produto
, então
e análogo para derivação em relação a
.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular
.
Defina o expoente
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
pois
é constante e a derivada de
é
.
Aplicando a regra da cadeia para
:
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Usando
e derivando em relação a
(tratando
como constante):
pois
é constante em relação a
.
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto
Passo 5
Preparação para as segundas derivadas: as primeiras derivadas têm forma de produto (por exemplo,
), então ao diferenciar novamente vamos usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia (para derivar a exponencial).
Passo 6
Calcular
(derivar
em relação a
).
Temos
. Aplique a regra do produto com
e
.
Primeiro calcule
:
Depois
usando a cadeia:
Agora a regra do produto:
Simplificando:
Uma fatoração útil é
Passo 7
Calcular
(derivar
em relação a
).
Partindo de
, aplique a regra do produto com
e
, agora derivando em relação a
.
Calcule
:
Calcule
pela cadeia:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 8
Verificação da igualdade mista
(opcional, mas bom para conferir).
Partindo de
e derivando em relação a
:
-
. -
.
Pela regra do produto:
que coincide com
obtida no passo anterior.
Passo 9
Calcular
(derivar
em relação a
).
Temos
. Aqui
é constante em relação a
, então pela regra da cadeia: