Calcule as deriviadas parciais de primeira e de segunda ordem de:
f(x, y)=e^{x^{2} y};

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{x^{2}y}. O que é pedido:
  • Calcular as derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Calcular as derivadas parciais de segunda ordem: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (ou \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}) e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f em termos de x e y: f(x,y)=e^{x^{2}y}.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Derivada parcial em relação a x: derivar tratando y como constante. Análogo para derivada parcial em relação a y.
  • Regra da cadeia (versão para funções exponenciais): se f(x,y)=e^{u(x,y)}, então
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui u(x,y) é o expoente.
  • Regra do produto: se uma função é produto g(x,y)\cdot h(x,y), então
\frac{\partial}{\partial x}\big(g h\big)=\frac{\partial g}{\partial x}\,h+g\,\frac{\partial h}{\partial x},
e análogo para derivação em relação a y.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Defina o expoente
u(x,y)=x^{2}y.
Derivando u em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y\big)=2x\,y,
pois y é constante e a derivada de x^{2} é 2x.
Aplicando a regra da cadeia para f=e^{u}:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x^{2}y}\cdot(2x y).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=2x y\,e^{x^{2}y}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Usando u(x,y)=x^{2}y e derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial u}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y\big)=x^{2},
pois x^{2} é constante em relação a y.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=e^{x^{2}y}\cdot x^{2}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\,e^{x^{2}y}.

Passo 5

Preparação para as segundas derivadas: as primeiras derivadas têm forma de produto (por exemplo, 2xy\cdot e^{x^{2}y}), então ao diferenciar novamente vamos usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia (para derivar a exponencial).

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (derivar \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a x).
Temos \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x y\,e^{x^{2}y}. Aplique a regra do produto com g(x,y)=2x y e h(x,y)=e^{x^{2}y}.
Primeiro calcule \dfrac{\partial g}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}(2x y)=2y.
Depois \dfrac{\partial h}{\partial x} usando a cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x^{2}y}\big)=e^{x^{2}y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=e^{x^{2}y}\cdot(2x y).
Agora a regra do produto:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2x y\,e^{x^{2}y}\big) = (2y)\,e^{x^{2}y} + (2x y)\,\big(e^{x^{2}y}\cdot 2x y\big).
Simplificando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2y\,e^{x^{2}y} + 4x^{2}y^{2}\,e^{x^{2}y} = e^{x^{2}y}\big(2y + 4x^{2}y^{2}\big).
Uma fatoração útil é
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2y\,e^{x^{2}y}\big(1+2x^{2}y\big).

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (derivar \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a y).
Partindo de \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x y\,e^{x^{2}y}, aplique a regra do produto com g(x,y)=2x y e h(x,y)=e^{x^{2}y}, agora derivando em relação a y.
Calcule \dfrac{\partial g}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}(2x y)=2x.
Calcule \dfrac{\partial h}{\partial y} pela cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x^{2}y}\big)=e^{x^{2}y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=e^{x^{2}y}\cdot x^{2}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = (2x)\,e^{x^{2}y} + (2x y)\,\big(e^{x^{2}y}\cdot x^{2}\big).
Simplificando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = e^{x^{2}y}\big(2x + 2x^{3}y\big) =2x\,e^{x^{2}y}\big(1+x^{2}y\big).

Passo 8

Verificação da igualdade mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (opcional, mas bom para conferir).
Partindo de \dfrac{\partial f}{\partial y}=x^{2}e^{x^{2}y} e derivando em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{x^{2}y}\big)=e^{x^{2}y}\cdot 2x y.
Pela regra do produto:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = (2x)\,e^{x^{2}y} + x^{2}\,\big(e^{x^{2}y}\cdot 2x y\big) = e^{x^{2}y}\big(2x + 2x^{3}y\big),
que coincide com \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} obtida no passo anterior.

Passo 9

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (derivar \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a y).
Temos \dfrac{\partial f}{\partial y}=x^{2}e^{x^{2}y}. Aqui x^{2} é constante em relação a y, então pela regra da cadeia:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x^{2}y}\big) = x^{2}\cdot\big(e^{x^{2}y}\cdot x^{2}\big) = x^{4}\,e^{x^{2}y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=2x y\,e^{x^{2}y}
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\,e^{x^{2}y}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=e^{x^{2}y}\big(2y + 4x^{2}y^{2}\big)
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=2x\,e^{x^{2}y}\big(1+x^{2}y\big)
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{4}\,e^{x^{2}y}

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