Considere o espaço vetorial real ( M_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot ) (onde +\mathrm{e} \cdot são as operações usuais de M_{2}(\mathbb{R}) ).
Verifique se as matrizes de M_{2}(\mathbb{R}) :
u_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right), \quad u_{2}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right), \quad u_{3}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right)
são linearmente independentes em ( M_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot ).

Passo 1

O enunciado dá três matrizes de M_{2}(\mathbb{R}) e pede para verificar se elas são linearmente independentes. As matrizes fornecidas são:
u_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad u_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad u_{3}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
O que precisamos responder: as matrizes u_{1},u_{2},u_{3} são linearmente independentes em M_{2}(\mathbb{R}) ou não?]

Passo 2

Definição (só para a prova, mastigada): três vetores (aqui matrizes) u_{1},u_{2},u_{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
for \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente não nulo, então eles são linearmente dependentes. A estratégia prática: escrever a combinação linear, igualar entrada a entrada com a matriz nula e resolver as equações para os \alpha's.]

Passo 3

Vamos montar a combinação linear genérica e calcular a soma entrada a entrada. Considere
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}.
Substituindo as matrizes temos
\alpha_{1}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} +\alpha_{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} +\alpha_{3}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{1}+\alpha_{2}+0 & 0+\alpha_{2}+\alpha_{3}\\[4pt] 0+0+0 & \alpha_{1}+\alpha_{2}+0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Igualamos a matriz resultante à matriz zero e obtemos as equações entrada a entrada. Da igualdade
\begin{pmatrix} \alpha_{1}+\alpha_{2} & \alpha_{2}+\alpha_{3}\\[4pt] 0 & \alpha_{1}+\alpha_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
tiramos as equações seguintes:
\alpha_{1}+\alpha_{2}=0,
\alpha_{2}+\alpha_{3}=0,
e a entrada inferior esquerda dá 0=0, que não fornece informação nova.]

Passo 5

Resolvendo o sistema obtido:
Da primeira equação temos \alpha_{1}=-\alpha_{2}.
Da segunda equação temos \alpha_{3}=-\alpha_{2}.
Portanto as soluções são todas da forma
(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}) = (-t,\,t,\,-t),
onde t\in\mathbb{R} é um parâmetro livre. Em particular, se escolhemos t=1 obtemos a solução não trivial
\alpha_{1}=-1,\qquad \alpha_{2}=1,\qquad \alpha_{3}=-1.

Passo 6

Interpretando: encontramos coeficientes não todos nulos que fazem a combinação linear ser a matriz zero. Para ficar explícito, verifique a combinação
-\,u_{1}+u_{2}-u_{3}= -\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Isso mostra diretamente que há dependência linear: uma combinação não trivial dá zero.]

Resposta

As matrizes u_{1},u_{2},u_{3} são linearmente dependentes.

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