1. Calcule o determinante apropriado para mostrar que o jacobiano da transformação do espaço cartesiano \rho \varphi \theta para o espaço cartesiano x y z é \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o jacobiano da passagem das coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta) para as coordenadas cartesianas (x,y,z). O conteúdo é cálculo de determinante de matriz jacobiana, e vamos usar as definições
x = \rho\,\operatorname{sen}\varphi\cos\theta, \quad y = \rho\,\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta, \quad z = \rho\,\cos\varphi
e em seguida montar e avaliar o determinante da matriz das derivadas parciais \partial(x,y,z)/\partial(\rho,\varphi,\theta).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais necessárias:
\begin{aligned} \frac{\partial x}{\partial\rho} &= \operatorname{sen}\varphi\cos\theta, & \frac{\partial x}{\partial\varphi} &= \rho\,\cos\varphi\cos\theta, & \frac{\partial x}{\partial\theta} &= -\,\rho\,\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta,\\\ \frac{\partial y}{\partial\rho} &= \operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta, & \frac{\partial y}{\partial\varphi} &= \rho\,\cos\varphi\operatorname{sen}\theta, & \frac{\partial y}{\partial\theta} &= \rho\,\operatorname{sen}\varphi\cos\theta,\\\ \frac{\partial z}{\partial\rho} &= \cos\varphi, & \frac{\partial z}{\partial\varphi} &= -\,\rho\,\operatorname{sen}\varphi, & \frac{\partial z}{\partial\theta} &= 0. \end{aligned}

Passo 3

Formamos a matriz jacobiana
J = \begin{pmatrix} \operatorname{sen}\varphi\cos\theta & \rho\,\cos\varphi\cos\theta & -\,\rho\,\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta\\\ \operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta & \rho\,\cos\varphi\operatorname{sen}\theta & \rho\,\operatorname{sen}\varphi\cos\theta\\\ \cos\varphi & -\,\rho\,\operatorname{sen}\varphi & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Vamos calcular \det J. Expandindo por qualquer método (por exemplo regra de Sarrus estendida ou cofactores), pode-se mostrar que os termos se reorganizam em
\det J = \rho^{2}\,\operatorname{sen}\varphi\, \bigl(\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta\bigr) = \rho^{2}\,\operatorname{sen}\varphi.

Resposta

O jacobiano da transformação esféricas \to cartesianas é
\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)} = \rho^{2}\,\operatorname{sen}\varphi.

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