1. Cilindro e planos Encontre o volume da região delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e os planos z=0 e y+z=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região limitada pelo cilindro \,x^{2}+y^{2}=4, pelo plano inferior z=0 e pelo plano superior y+z=4. O conteúdo usado será o cálculo de volume por integração dupla no plano xy, usando que
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}\bigr)\,dA
e a mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Na projeção D no plano xy temos
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\},
o plano superior dá z_{\text{top}}=4-y e o inferior é z_{\text{bot}}=0. Logo
V=\iint_{D}(4-y)\,dA.

Passo 3

Fazendo a troca para coordenadas polares
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le2 e 0\le\theta\le2\pi. O integrando fica 4-y=4-r\sin\theta, então
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(4-r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Separamos a integral:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}4r\,dr\,d\theta \;-\;\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.
Calculemos cada parte:
\int_{0}^{2}4r\,dr =4\cdot\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} =4\cdot2=8,
\int_{0}^{2}r^{2}\,dr =\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} =\frac{8}{3}.
Logo
V =\int_{0}^{2\pi}8\,d\theta \;-\;\int_{0}^{2\pi}\frac{8}{3}\sin\theta\,d\theta =8\cdot2\pi-\frac{8}{3}\cdot0 =16\pi.

Resposta

O volume da região é 16\pi.

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