Calcule o determinante apropriado para mostrar que o jacobiano da transformação do espaço cartesiano \rho \varphi \theta para o espaço cartesiano x y z é \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o jacobiano da passagem das coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta) para as coordenadas cartesianas (x,y,z). O conteúdo é cálculo de determinante de matriz jacobiana, e vamos usar as definições
x = \rho\,\operatorname{sen}\varphi\cos\theta, \quad y = \rho\,\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta, \quad z = \rho\,\cos\varphi
e em seguida montar e avaliar o determinante da matriz das derivadas parciais \partial(x,y,z)/\partial(\rho,\varphi,\theta).
Vamos calcular \det J. Expandindo por qualquer método (por exemplo regra de Sarrus estendida ou cofactores), pode-se mostrar que os termos se reorganizam em