Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace. F=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 4 \\\\ 7 & -6 & 2 \\\\ 3 & 0 & -12\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz F:
Os elementos da matriz são os números mostrados nas três linhas e três colunas.
A pergunta é: calcular \det F usando o desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores).]
Passo 2
Lembrete didático: o desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores) ao longo de uma coluna j diz:
\det A=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij},
onde:
a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de A;
M_{ij} é a matriz obtida de A removendo-se a linha i e a coluna j (chamada menor ou minor);
(-1)^{i+j} é o sinal do cofator (positivo ou negativo conforme i+j for par ou ímpar).
Também lembrar a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc,
onde a,b,c,d são os elementos da matriz 2\times2.]
Passo 3
Para escolher onde expandir: é conveniente escolher uma linha ou coluna que tenha muitos zeros, porque cada termo com elemento zero não contribui para a soma. Observando F, a coluna 2 tem zeros em (1,2) e (3,2), ficando apenas o elemento \,a_{22}=-6 como não nulo. Então vamos expandir ao longo da coluna 2.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Laplace para a coluna j=2:
\det F=\sum_{i=1}^{3}(-1)^{i+2}a_{i2}\det M_{i2}.
Como a_{12}=0 e a_{32}=0, apenas o termo com i=2 contribui. Assim:
\det F = (-1)^{2+2}a_{22}\det M_{22}.
Substituindo a_{22}=-6 e observando que (-1)^{4}=1, temos
\det F = 1\cdot(-6)\det M_{22} = -6\det M_{22}.
Agora precisamos determinar M_{22}, a matriz que sobra ao excluir a linha 2 e a coluna 2 de F. Pegou-se essa informação da própria matriz F. O menor M_{22} é a matriz 2\times2 formada pelas linhas 1,3 e colunas 1,3:
Calcular o determinante de M_{22} usando a fórmula do 2\times2:
\det M_{22}=(-1)\cdot(-12)-4\cdot 3.
Desenvolvendo:
(-1)\cdot(-12)=12, \qquad 4\cdot 3=12,
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\det M_{22}=12-12=0.
Passo 6
Voltando à expressão para \det F:
\det F = -6\det M_{22} = -6\cdot 0 = 0.
Portanto o determinante da matriz F é 0. Bom trabalho — é comum aparecer determinante zero quando há dependência linear entre linhas ou colunas (aqui as operações levaram ao menor com determinante zero).