Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace.
D=\left[\begin{array}{cccc}0 & 9 & -2 & 1 \\\\ 5 & 4 & -3 & 3 \\\\ 0 & 7 & -1 & -1 \\\\ 2 & 8 & 4 & 5\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz D usando o desenvolvimento de Laplace. A matriz dada é
D=\begin{pmatrix} 0 & 9 & -2 & 1 \\\\ 5 & 4 & -3 & 3 \\\\ 0 & 7 & -1 & -1 \\\\ 2 & 8 & 4 & 5 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • É uma matriz quadrada de ordem 4.
  • Deve-se usar o método de desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores) para obter \det(D).

Passo 2

O que é o desenvolvimento de Laplace (cofatores)?
  • Para uma matriz quadrada A=[a_{ij}] de ordem n, o determinante pode ser calculado expandindo ao longo de uma linha ou coluna:
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\,a_{ij}\,\det(M_{ij})
se expandirmos ao longo da coluna j, onde M_{ij} é a matriz obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator, e C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é o cofator associado a a_{ij}.
  • Dica prática: escolher uma linha ou coluna que contenha muitos zeros reduz bastante o trabalho, porque termos com a_{ij}=0 não contribuem.

Passo 3

Escolha da expansão:
  • Olhando para D, a primeira coluna tem dois zeros: os elementos a_{11}=0 e a_{31}=0. Isso torna conveniente expandir ao longo da primeira coluna.
  • Escrevendo a expansão ao longo da coluna 1 (coluna j=1):
\det(D)=\sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+1}\,a_{i1}\,\det(M_{i1}).
Como a_{11}=0 e a_{31}=0, só restam as contribuições de i=2 e i=4.

Passo 4

Escrevendo explicitamente os termos não nulos:
  • Para i=2: a_{21}=5 e o sinal é (-1)^{2+1}=(-1)^3=-1. Contribuição: -5\det(M_{21}).
  • Para i=4: a_{41}=2 e o sinal é (-1)^{4+1}=(-1)^5=-1. Contribuição: -2\det(M_{41}).
    Portanto
\det(D) = -5\det(M_{21}) - 2\det(M_{41}).

Passo 5

Determinar \det(M_{21}):
  • A matriz M_{21} é obtida eliminando-se a linha 2 e a coluna 1 de D. Peguei esses elementos da matriz original.
  • Assim
M_{21}=\begin{pmatrix} 9 & -2 & 1 \\\\ 7 & -1 & -1 \\\\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix}.
  • Para o determinante de uma matriz 3\times3 com primeira linha (a,b,c) a fórmula (regra de Sarrus ou expansão pela primeira linha) é
\det=\;a\det\begin{pmatrix} * & * \\\ * & *\end{pmatrix} - b\det\begin{pmatrix} * & * \\\ * & *\end{pmatrix} + c\det\begin{pmatrix} * & * \\\ * & *\end{pmatrix},
onde cada menor 2\times2 é obtido eliminando a linha e coluna do elemento correspondente.
  • Aplicando com a primeira linha (9,-2,1):
\det(M_{21}) = 9\det\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}7 & -1 \\[4pt] 8 & 5\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}7 & -1 \\[4pt] 8 & 4\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix}=(-1)\cdot5 - (-1)\cdot4 = -5 +4 = -1,
\det\begin{pmatrix}7 & -1 \\[4pt] 8 & 5\end{pmatrix}=7\cdot5 - (-1)\cdot8 =35 +8 =43,
\det\begin{pmatrix}7 & -1 \\[4pt] 8 & 4\end{pmatrix}=7\cdot4 - (-1)\cdot8 =28 +8 =36.
Substituindo:
\det(M_{21}) = 9\cdot(-1) -(-2)\cdot43 + 1\cdot36 = -9 + 86 + 36 = 113.]

Passo 6

Determinar \det(M_{41}):
  • A matriz M_{41} é obtida eliminando a linha 4 e a coluna 1 de D. Peguei esses elementos da matriz original.
  • Assim
M_{41}=\begin{pmatrix} 9 & -2 & 1 \\\\ 4 & -3 & 3 \\\\ 7 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
  • Expandindo pela primeira linha (9,-2,1):
\det(M_{41}) = 9\det\begin{pmatrix}-3 & 3 \\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}4 & 3 \\[4pt] 7 & -1\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}4 & -3 \\[4pt] 7 & -1\end{pmatrix}.
Calculo os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-3 & 3 \\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix}=(-3)(-1) - 3(-1) = 3 +3 = 6,
\det\begin{pmatrix}4 & 3 \\[4pt] 7 & -1\end{pmatrix}=4(-1) - 3\cdot7 = -4 -21 = -25,
\det\begin{pmatrix}4 & -3 \\[4pt] 7 & -1\end{pmatrix}=4(-1) - (-3)\cdot7 = -4 +21 = 17.
Substituindo:
\det(M_{41}) = 9\cdot6 -(-2)\cdot(-25) + 1\cdot17 = 54 -50 +17 = 21.]

Passo 7

Montagem final do determinante de D:
  • Lembrando que
\det(D) = -5\det(M_{21}) - 2\det(M_{41}),
e que encontramos \det(M_{21})=113 e \det(M_{41})=21. Então
\det(D) = -5\cdot113 - 2\cdot21 = -565 - 42 = -607.

Resposta

-607

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