Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace.
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
por meio do desenvolvimento de Laplace. A matriz fornecida é
O que se pede: encontrar
usando a expansão de Laplace.
Passo 2
Vou relembrar o método de Laplace (passo a passo e de forma bem clara).
- Se
é uma matriz quadrada, o menor é o determinante da submatriz obtida eliminando a linha e a coluna . - O cofator
é dado por . - A expansão de Laplace pela primeira linha diz:
Para matrizes
usaremos a fórmula básica:
Aqui vou expandir
pela primeira linha (porque é simples de aplicar e direto de calcular).
Passo 3
Calcular o menor
e o cofator
.
Eliminar linha 1 e coluna 1 da matriz
deixa a submatriz
O menor é
O cofator é
Passo 4
Calcular o menor
e o cofator
.
Eliminar linha 1 e coluna 2 deixa
O menor é
O cofator é
Passo 5
Calcular o menor
e o cofator
.
Eliminar linha 1 e coluna 3 deixa
O menor é
O cofator é
Passo 6
Agora aplico a expansão de Laplace pela primeira linha:
Substituindo os cofatores calculados:
Faço as contas em ordem:
Somando: