Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace.
E=\left[\begin{array}{ccc}4 & 7 & 9 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 2 & 2 & -3\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz E por meio do desenvolvimento de Laplace. A matriz fornecida é
E=\begin{pmatrix}4 & 7 & 9 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 2 & 2 & -3\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar \det(E) usando a expansão de Laplace.

Passo 2

Vou relembrar o método de Laplace (passo a passo e de forma bem clara).
  • Se A=(a_{ij}) é uma matriz quadrada, o menor M_{ij} é o determinante da submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é dado por \displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A expansão de Laplace pela primeira linha diz:
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{1j}C_{1j}=\sum_{j=1}^{n} a_{1j}(-1)^{1+j}M_{1j}.
Para matrizes 2\times2 usaremos a fórmula básica:
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui vou expandir \det(E) pela primeira linha (porque é simples de aplicar e direto de calcular).

Passo 3

Calcular o menor M_{11} e o cofator C_{11}.
Eliminar linha 1 e coluna 1 da matriz E deixa a submatriz
\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.
O menor é
M_{11}=\det\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}=3\cdot(-3)-4\cdot2=-9-8=-17.
O cofator é
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=(-1)^2\cdot(-17)= -17.]

Passo 4

Calcular o menor M_{12} e o cofator C_{12}.
Eliminar linha 1 e coluna 2 deixa
\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.
O menor é
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-3)-4\cdot2=3-8=-5.
O cofator é
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=(-1)^3\cdot(-5) = -1\cdot(-5)=5.]

Passo 5

Calcular o menor M_{13} e o cofator C_{13}.
Eliminar linha 1 e coluna 3 deixa
\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
O menor é
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot2-3\cdot2=-2-6=-8.
O cofator é
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=(-1)^4\cdot(-8)= -8.]

Passo 6

Agora aplico a expansão de Laplace pela primeira linha:
\det(E)=4\cdot C_{11} + 7\cdot C_{12} + 9\cdot C_{13}.
Substituindo os cofatores calculados:
\det(E)=4\cdot(-17) + 7\cdot(5) + 9\cdot(-8).
Faço as contas em ordem:
4\cdot(-17)=-68,\qquad 7\cdot5=35,\qquad 9\cdot(-8)=-72.
Somando:
\det(E)=-68+35-72 = -33-72 = -105.

Resposta

\det(E) = -105

Exercícios relacionados