Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace.
B=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz B calculado por desenvolvimento de Laplace. A matriz dada é
B=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma matriz quadrada de ordem 4.
  • O cálculo deve ser feito por desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores).]

Passo 2

O que é o desenvolvimento de Laplace (em linguagem amigável)?
  • Para cada entrada b_{ij} da matriz existe um menor M_{ij}, que é a matriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j.
  • O cofator correspondente é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A expansão de Laplace ao longo de uma coluna j diz:
\det(B)=\sum_{i=1}^{4} b_{ij}\,C_{ij}=\sum_{i=1}^{4} b_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
Estratégia prática: escolher uma coluna (ou linha) com zeros para simplificar. Aqui a primeira coluna tem dois zeros ( b_{31}=0 e b_{41}=0), então é conveniente expandir pela primeira coluna.

Passo 3

Aplicando a expansão pela coluna 1 temos
\det(B)=\sum_{i=1}^{4} b_{i1}(-1)^{i+1}\det(M_{i1}).
Como b_{31}=0 e b_{41}=0, apenas i=1 e i=2 contribuem; portanto
\det(B)=b_{11}(-1)^{1+1}\det(M_{11})+b_{21}(-1)^{2+1}\det(M_{21}).
Substituindo b_{11}=2 e b_{21}=1:
\det(B)=2\cdot\det(M_{11})-1\cdot\det(M_{21}).
(A explicação: (-1)^{1+1}=+1 e (-1)^{2+1}=-1.)

Passo 4

Calcular o menor M_{11} (removendo linha 1 e coluna 1). O menor é a matriz 3\times3
M_{11}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}.
Para determinar \det(M_{11}) uso a regra de Sarrus (fácil para 3\times3). Se a matriz é \begin{bmatrix}a&b&c\\\ d&e&f\\\ g&h&i\end{bmatrix}, então
\det=\;a e i + b f g + c d h \;-\; (c e g + b d i + a f h).
Aqui a=0, b=1, c=1, d=2, e=1, f=0, g=1, h=2, i=3. Calculando termo a termo:
a e i = 0\cdot1\cdot3 = 0, \qquad b f g = 1\cdot0\cdot1 = 0, \qquad c d h = 1\cdot2\cdot2 = 4,
soma positiva =4.
c e g = 1\cdot1\cdot1 = 1, \qquad b d i = 1\cdot2\cdot3 = 6, \qquad a f h = 0\cdot0\cdot2 = 0,
soma negativa =1+6+0=7.
Portanto
\det(M_{11})=4-7=-3.]

Passo 5

Calcular o menor M_{21} (removendo linha 2 e coluna 1). O menor é
M_{21}=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}.
Aplicando novamente a regra de Sarrus com a=1, b=3, c=1, d=2, e=1, f=0, g=1, h=2, i=3:
a e i = 1\cdot1\cdot3 = 3, \qquad b f g = 3\cdot0\cdot1 = 0, \qquad c d h = 1\cdot2\cdot2 = 4,
soma positiva =3+0+4=7.
c e g = 1\cdot1\cdot1 = 1, \qquad b d i = 3\cdot2\cdot3 = 18, \qquad a f h = 1\cdot0\cdot2 = 0,
soma negativa =1+18+0=19.
Portanto
\det(M_{21})=7-19=-12.]

Passo 6

Agora voltamos à expressão do Passo 3:
\det(B)=2\cdot\det(M_{11})-1\cdot\det(M_{21}).
Substituindo \det(M_{11})=-3 e \det(M_{21})=-12:
\det(B)=2\cdot(-3)-1\cdot(-12)=-6+12=6.

Resposta

6

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