Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace. A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 5 & -9 & 6 & 3 \\\\ -1 & 2 & -6 & -2 \\\\ 2 & 8 & 6 & 1\end{array}\right],
Passo 1
O enunciado pede: calcular o determinante da matriz A usando o desenvolvimento de Laplace. A matriz dada é
Deve-se usar o desenvolvimento de Laplace (expansão por menores e cofatores).
Todos os elementos da primeira coluna são relativamente pequenos (1,5,-1,2), então é uma opção razoável para expandir (isso facilita contas).
Passo 2
O que é o desenvolvimento de Laplace (explicação didática)?
Para uma matriz quadrada A=(a_{ij}), o menor associado à entrada a_{ij} é a matriz obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j. Esse menor (matriz) tem determinante denotado por \det(M_{ij}).
O cofator correspondente é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
A fórmula de Laplace para expansão pela coluna j é
Explicando em palavras: multiplica-se cada entrada da coluna escolhida pelo determinante do menor que sobra ao eliminar essa linha e coluna, lembrando de alternar sinais com o fator (-1)^{i+j}.
Escolhi expandir pela primeira coluna (coluna j=1), então
Para calcular o determinante de um 3\times3 uso a regra de Sarrus (ou a expansão por Laplace também serve). Regra de Sarrus: para \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\\ x_{21}&x_{22}&x_{23}\\\ x_{31}&x_{32}&x_{33}\end{pmatrix},
temos