Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace.
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 5 & -9 & 6 & 3 \\\\ -1 & 2 & -6 & -2 \\\\ 2 & 8 & 6 & 1\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz A usando o desenvolvimento de Laplace. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 5 & -9 & 6 & 3 \\\\ -1 & 2 & -6 & -2 \\\\ 2 & 8 & 6 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos:
  • A matriz é 4\times4.
  • Deve-se usar o desenvolvimento de Laplace (expansão por menores e cofatores).
  • Todos os elementos da primeira coluna são relativamente pequenos ( 1,5,-1,2), então é uma opção razoável para expandir (isso facilita contas).

Passo 2

O que é o desenvolvimento de Laplace (explicação didática)?
  • Para uma matriz quadrada A=(a_{ij}), o menor associado à entrada a_{ij} é a matriz obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j. Esse menor (matriz) tem determinante denotado por \det(M_{ij}).
  • O cofator correspondente é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A fórmula de Laplace para expansão pela coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}C_{ij}=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
Explicando em palavras: multiplica-se cada entrada da coluna escolhida pelo determinante do menor que sobra ao eliminar essa linha e coluna, lembrando de alternar sinais com o fator (-1)^{i+j}.
Escolhi expandir pela primeira coluna (coluna j=1), então
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41},
com C_{i1}=(-1)^{i+1}\det(M_{i1}).

Passo 3

Calcular o menor M_{11} (remover linha 1 e coluna 1) e seu determinante.
O menor é a matriz 3\times3
M_{11}=\begin{pmatrix} -9 & 6 & 3\\[4pt] 2 & -6 & -2\\[4pt] 8 & 6 & 1 \end{pmatrix}.
Para calcular o determinante de um 3\times3 uso a regra de Sarrus (ou a expansão por Laplace também serve). Regra de Sarrus: para
\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\\ x_{21}&x_{22}&x_{23}\\\ x_{31}&x_{32}&x_{33}\end{pmatrix},
temos
\det= x_{11}x_{22}x_{33}+x_{12}x_{23}x_{31}+x_{13}x_{21}x_{32} -(x_{13}x_{22}x_{31}+x_{11}x_{23}x_{32}+x_{12}x_{21}x_{33}).
Aplicando em M_{11}:
\det(M_{11}) = (-9)(-6)(1) + 6(-2)(8) + 3(2)(6) - \big(3(-6)(8) + (-9)(-2)(6) + 6(2)(1)\big).
Agora as contas passo a passo:
(-9)(-6)(1)=54, \quad 6(-2)(8)=-96, \quad 3(2)(6)=36,
soma das diagonais positivas =54-96+36=-6.
Para a subtração:
3(-6)(8)=-144, \quad (-9)(-2)(6)=108, \quad 6(2)(1)=12,
soma das diagonais negativas =-144+108+12=-24.
Portanto
\det(M_{11}) = (-6) - (-24) = 18.]

Passo 4

Calcular o menor M_{21} (remover linha 2 e coluna 1) e seu determinante.
O menor é
M_{21}=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\[4pt] 2 & -6 & -2\\[4pt] 8 & 6 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
\det(M_{21}) = (-2)(-6)(1) + 3(-2)(8) + 1(2)(6) - \big(1(-6)(8) + (-2)(-2)(6) + 3(2)(1)\big).
Calculando cada termo:
(-2)(-6)(1)=12, \quad 3(-2)(8)=-48, \quad 1(2)(6)=12,
soma positiva =12-48+12=-24.
Negativos:
1(-6)(8)=-48, \quad (-2)(-2)(6)=24, \quad 3(2)(1)=6,
soma negativa =-48+24+6=-18.
Logo
\det(M_{21}) = (-24) - (-18) = -6.]

Passo 5

Calcular o menor M_{31} (remover linha 3 e coluna 1) e seu determinante.
O menor é
M_{31}=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\[4pt] -9 & 6 & 3\\[4pt] 8 & 6 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
\det(M_{31}) = (-2)(6)(1) + 3(3)(8) + 1(-9)(6) - \big(1(6)(8) + (-2)(3)(6) + 3(-9)(1)\big).
Calculando:
(-2)(6)(1)=-12, \quad 3(3)(8)=72, \quad 1(-9)(6)=-54,
soma positiva =-12+72-54=6.
Negativos:
1(6)(8)=48, \quad (-2)(3)(6)=-36, \quad 3(-9)(1)=-27,
soma negativa =48-36-27=-15.
Assim
\det(M_{31}) = 6 - (-15) = 21.]

Passo 6

Calcular o menor M_{41} (remover linha 4 e coluna 1) e seu determinante.
O menor é
M_{41}=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\[4pt] -9 & 6 & 3\\[4pt] 2 & -6 & -2 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
\det(M_{41}) = (-2)(6)(-2) + 3(3)(2) + 1(-9)(-6) - \big(1(6)(2) + (-2)(3)(-6) + 3(-9)(-2)\big).
Calculando:
(-2)(6)(-2)=24, \quad 3(3)(2)=18, \quad 1(-9)(-6)=54,
soma positiva =24+18+54=96.
Negativos:
1(6)(2)=12, \quad (-2)(3)(-6)=36, \quad 3(-9)(-2)=54,
soma negativa =12+36+54=102.
Então
\det(M_{41}) = 96 - 102 = -6.]

Passo 7

Agora calculo os cofatores C_{i1}=(-1)^{i+1}\det(M_{i1}) e monto a expansão de Laplace pela primeira coluna.
  • Para i=1: a_{11}=1, C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11})=+1\cdot 18=18.
  • Para i=2: a_{21}=5, C_{21}=(-1)^{2+1}\det(M_{21})=-1\cdot(-6)=+6.
  • Para i=3: a_{31}=-1, C_{31}=(-1)^{3+1}\det(M_{31})=+1\cdot 21=21.
  • Para i=4: a_{41}=2, C_{41}=(-1)^{4+1}\det(M_{41})=-1\cdot(-6)=+6.
Aplicando a fórmula
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41},
substituindo:
\det(A)=1\cdot 18 + 5\cdot 6 + (-1)\cdot 21 + 2\cdot 6.
Calculando term a term:
1\cdot 18 = 18,\quad 5\cdot 6 = 30,\quad (-1)\cdot 21 = -21,\quad 2\cdot 6 = 12.
Somando:
18 + 30 - 21 + 12 = 39.

Resposta

39

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