Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 5 & -9 & 6 & 3 \\\\ -1 & 2 & -6 & -2 \\\\ 2 & 8 & 6 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz abaixo usando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior. A matriz fornecida é
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 5 & -9 & 6 & 3 \\\\ -1 & 2 & -6 & -2 \\\\ 2 & 8 & 6 & 1 \end{array}\right].
Queremos o valor de \det(A). Vou aplicar operações de linhas que facilitem a obtenção de uma matriz triangular superior, sempre anotando como cada operação afeta o determinante.

Passo 2

Lembrete prático sobre operações elementares e o determinante (essa é a teoria que vamos usar, explicada de forma bem direta):
  • Se trocar duas linhas, o determinante muda de sinal: trocar R_i com R_j => \det multiplica por -1.
  • Se multiplicar uma linha por um escalar k, o determinante é multiplicado por k.
  • Se somar a uma linha um múltiplo de outra linha (por exemplo R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j), o determinante NÃO se altera.
  • Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal: se
U=\left[\begin{array}{cccc} u_{11} & * & * & *\\\\ 0 & u_{22} & * & *\\\\ 0 & 0 & u_{33} & *\\\\ 0 & 0 & 0 & u_{44} \end{array}\right],
então \det(U)=u_{11}\,u_{22}\,u_{33}\,u_{44}.
Como objetivo, vou usar apenas operações do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (que preservam o determinante), evitando trocas ou multiplicações de linhas por escalares sempre que possível — assim o determinante final será simplesmente o produto das diagonais da triangular.

Passo 3

Começo eliminando entradas abaixo do pivô da primeira coluna ( a_{11}=1). Uso as operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 5R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
Essas são somas de múltiplos de linhas, então o determinante NÃO muda.
Calculemos linha a linha:
  • R_2 - 5R_1 = [5,-9,6,3] -5[1,-2,3,1] = [0, -9+10, 6-15, 3-5] = [0,1,-9,-2].
  • R_3 + R_1 = [-1,2,-6,-2] + [1,-2,3,1] = [0,0,-3,-1].
  • R_4 - 2R_1 = [2,8,6,1] -2[1,-2,3,1] = [0,8+4,6-6,1-2] = [0,12,0,-1].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & -9 & -2 \\\\ 0 & 0 & -3 & -1 \\\\ 0 & 12 & 0 & -1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora uso o pivô a_{22}=1 (segunda linha, segunda coluna) para zerar a entrada em a_{42}. Faço
R_4 \leftarrow R_4 - 12R_2.
Novamente é uma soma de múltiplos de linhas, então o determinante NÃO muda.
Calculemos:
  • R_4 - 12R_2 = [0,12,0,-1] -12[0,1,-9,-2] = [0,0,0+108,-1+24] = [0,0,108,23].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & -9 & -2 \\\\ 0 & 0 & -3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 108 & 23 \end{array}\right].

Passo 5

Agora o pivô na terceira linha é a_{33}=-3. Vou zerar a entrada a_{43}=108 usando:
R_4 \leftarrow R_4 + 36 R_3,
porque 36\cdot(-3) = -108 e assim 108 + 36\cdot(-3) = 0. Esta operação também não altera o determinante.
Calculemos:
  • R_4 + 36 R_3 = [0,0,108,23] +36[0,0,-3,-1] = [0,0,108-108,23-36] = [0,0,0,-13].
Agora a matriz está em forma triangular superior:
U=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & -9 & -2 \\\\ 0 & 0 & -3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -13 \end{array}\right].
Durante todo o processo foram usadas apenas operações do tipo R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j, portanto o determinante permaneceu o mesmo de \det(A).

Passo 6

Agora aplico a propriedade do determinante de matriz triangular: o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim,
\det(A)=\det(U)=1\cdot 1\cdot (-3)\cdot (-13).
Calcule:
(-3)\cdot(-13)=39,
então
\det(A)=1\cdot 1\cdot 39 = 39.

Resposta

39

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