Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores. \left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 5 & -9 & 6 & 3 \\\\ -1 & 2 & -6 & -2 \\\\ 2 & 8 & 6 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: calcular o determinante da matriz abaixo usando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior. A matriz fornecida é
Queremos o valor de \det(A). Vou aplicar operações de linhas que facilitem a obtenção de uma matriz triangular superior, sempre anotando como cada operação afeta o determinante.
Passo 2
Lembrete prático sobre operações elementares e o determinante (essa é a teoria que vamos usar, explicada de forma bem direta):
Se trocar duas linhas, o determinante muda de sinal: trocar R_i com R_j => \det multiplica por -1.
Se multiplicar uma linha por um escalar k, o determinante é multiplicado por k.
Se somar a uma linha um múltiplo de outra linha (por exemplo R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j), o determinante NÃO se altera.
Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal: se
Como objetivo, vou usar apenas operações do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (que preservam o determinante), evitando trocas ou multiplicações de linhas por escalares sempre que possível — assim o determinante final será simplesmente o produto das diagonais da triangular.
Passo 3
Começo eliminando entradas abaixo do pivô da primeira coluna (a_{11}=1). Uso as operações: