Calcule o determinante das matrizes a seguir:
\left[\begin{array}{cc}\cos \beta t & \operatorname{sen} \beta t \\\ \alpha \cos \beta t-\beta \operatorname{sen} \beta t & \alpha \operatorname{sen} \beta t+\beta \cos \beta t\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz 2\times2
\begin{pmatrix} \cos\beta t & \sin\beta t \\\ \alpha\cos\beta t-\beta\sin\beta t & \alpha\sin\beta t+\beta\cos\beta t \end{pmatrix}
e pede para calcular o determinante dessa matriz. Vou listar as entradas para ficar claro:
  • entrada superior esquerda: \cos\beta t,
  • entrada superior direita: \sin\beta t,
  • entrada inferior esquerda: \alpha\cos\beta t-\beta\sin\beta t,
  • entrada inferior direita: \alpha\sin\beta t+\beta\cos\beta t.

Passo 2

Lembra da fórmula do determinante para uma matriz 2\times2. Se
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
então o determinante de A é dado por
\det(A)=ad-bc.
Aqui cada letra representa uma entrada da matriz: a é o elemento (1,1), b é (1,2), c é (2,1) e d é (2,2). Vou aplicar essa fórmula às entradas acima.

Passo 3

Identificando as letras com as entradas dadas:
a=\cos\beta t,\qquad b=\sin\beta t,
c=\alpha\cos\beta t-\beta\sin\beta t,\qquad d=\alpha\sin\beta t+\beta\cos\beta t.
Aplicando \det(A)=ad-bc obtemos
\det = (\cos\beta t)\,(\alpha\sin\beta t+\beta\cos\beta t) - (\sin\beta t)\,(\alpha\cos\beta t-\beta\sin\beta t).

Passo 4

Agora expandimos termo a termo, fazendo as contas devagar para não pular etapas:
\det = \alpha\cos\beta t\sin\beta t+\beta\cos^2\beta t - \big(\alpha\sin\beta t\cos\beta t - \beta\sin^2\beta t\big).
Distribuindo o sinal negativo no segundo parêntese:
\det = \alpha\cos\beta t\sin\beta t+\beta\cos^2\beta t - \alpha\sin\beta t\cos\beta t + \beta\sin^2\beta t.

Passo 5

Observa que os termos com \alpha se cancelam porque são iguais com sinais opostos:
\alpha\cos\beta t\sin\beta t - \alpha\sin\beta t\cos\beta t = 0.
Ficam apenas os termos com \beta:
\det = \beta\cos^2\beta t + \beta\sin^2\beta t = \beta\big(\cos^2\beta t+\sin^2\beta t\big).
Usando a identidade trigonométrica fundamental \cos^2 x+\sin^2 x=1, concluímos
\det = \beta\cdot 1 = \beta.

Resposta

\beta

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