Calcule o determinante das matrizes a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para calcular o determinante dessa matriz. Vou listar as entradas para ficar claro:
- entrada superior esquerda:
, - entrada superior direita:
, - entrada inferior esquerda:
, - entrada inferior direita:
.
Passo 2
Lembra da fórmula do determinante para uma matriz
. Se
então o determinante de
é dado por
Aqui cada letra representa uma entrada da matriz:
é o elemento (1,1),
é (1,2),
é (2,1) e
é (2,2). Vou aplicar essa fórmula às entradas acima.
Passo 3
Identificando as letras com as entradas dadas:
Aplicando
obtemos
Passo 4
Agora expandimos termo a termo, fazendo as contas devagar para não pular etapas:
Distribuindo o sinal negativo no segundo parêntese:
Passo 5
Observa que os termos com
se cancelam porque são iguais com sinais opostos:
Ficam apenas os termos com
:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, concluímos