Calcule o determinante das matrizes a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
:
Informações dadas: todos os elementos da matriz estão expressos em função de
e
e aparecem fatores
. A pergunta é: qual é
?]
Passo 2
Lembrete prático (fórmula do determinante de uma matriz
). Para
o determinante é dado por
Aqui
são os elementos da primeira linha e segunda linha, respectivamente. Essa fórmula vem da definição básica do determinante em
e é a ferramenta que vamos usar.]
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado, identificamos
Então
Passo 4
Agora simplificamos termo a termo. Primeiro, multiplicações de exponenciais:
e
Substituindo na expressão do determinante:
Passo 5
Fatorando
da expressão (isso usa a propriedade distributiva e o fato de que
é comum aos dois termos):
Portanto a expressão se simplifica totalmente para
.
Passo 6
Comentário didático curto e alternativa: outra forma rápida é notar que cada linha da matriz tem o fator comum
. Se se fatorar
da primeira linha e
da segunda linha, o determinante é multiplicado por esses dois fatores (um por linha), então se obtém
vezes o determinante da matriz sem exponenciais. A matriz sem esses fatores é
cujo determinante é
. Multiplicando por
recupera
.]