Calcule o determinante das matrizes a seguir:
\left[\begin{array}{cc}e^{r t} & t e^{r t} \\\ r e^{r t} & (1+r t) e^{r t}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 2\times2:
A=\begin{pmatrix}e^{r t} & t e^{r t} \\[4pt] r e^{r t} & (1+r t) e^{r t}\end{pmatrix}.
Informações dadas: todos os elementos da matriz estão expressos em função de r e t e aparecem fatores e^{r t}. A pergunta é: qual é \det(A)?]

Passo 2

Lembrete prático (fórmula do determinante de uma matriz 2\times2). Para
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=a d - b c.
Aqui a,b,c,d são os elementos da primeira linha e segunda linha, respectivamente. Essa fórmula vem da definição básica do determinante em 2\times2 e é a ferramenta que vamos usar.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado, identificamos
a=e^{r t},\quad b=t e^{r t},\quad c=r e^{r t},\quad d=(1+r t)e^{r t}.
Então
\det(A)=a d - b c = \bigl(e^{r t}\bigr)\bigl((1+r t)e^{r t}\bigr) - \bigl(t e^{r t}\bigr)\bigl(r e^{r t}\bigr).

Passo 4

Agora simplificamos termo a termo. Primeiro, multiplicações de exponenciais:
\bigl(e^{r t}\bigr)\bigl((1+r t)e^{r t}\bigr) = (1+r t)\,e^{r t}e^{r t}=(1+r t)\,e^{2r t},
e
\bigl(t e^{r t}\bigr)\bigl(r e^{r t}\bigr)=r t\,e^{r t}e^{r t}=r t\,e^{2r t}.
Substituindo na expressão do determinante:
\det(A)=(1+r t)\,e^{2r t} - r t\,e^{2r t}.

Passo 5

Fatorando e^{2r t} da expressão (isso usa a propriedade distributiva e o fato de que e^{2r t} é comum aos dois termos):
\det(A)=\bigl((1+r t)-r t\bigr)\,e^{2r t}=1\cdot e^{2r t}=e^{2r t}.
Portanto a expressão se simplifica totalmente para e^{2r t}.

Passo 6

Comentário didático curto e alternativa: outra forma rápida é notar que cada linha da matriz tem o fator comum e^{r t}. Se se fatorar e^{r t} da primeira linha e e^{r t} da segunda linha, o determinante é multiplicado por esses dois fatores (um por linha), então se obtém e^{r t}\cdot e^{r t}=e^{2r t} vezes o determinante da matriz sem exponenciais. A matriz sem esses fatores é
\begin{pmatrix}1 & t\\[4pt] r & 1+r t\end{pmatrix},
cujo determinante é 1(1+r t)-t r=1. Multiplicando por e^{2r t} recupera e^{2r t}.]

Resposta

e^{2 r t}

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