Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]
usando operações elementares para transformá-la numa matriz triangular superior. Informações dadas:
  • A matriz A é 4\times4.
  • Deve-se aplicar operações elementares de linhas (row operations) e usar o fato de que, para matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Rápida revisão útil (o que cada operação faz no determinante):
  • Trocar duas linhas: se trocar R_i e R_j, o determinante muda de sinal. Em símbolos: ao trocar duas linhas, \det multiplica por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k: isso multiplica o determinante por k.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha: isso NÃO altera o determinante.
Também usaremos que, para uma matriz triangular superior U,
\det(U)=\prod_{i=1}^{n} U_{ii},
ou seja, o produto dos elementos da diagonal principal.
Agora vamos transformar A em forma triangular superior usando somente operações controladas, acompanhando o efeito no determinante.

Passo 3

Primeira estratégia prática: evitar frações iniciais trocando R_1 com R_2 (isso troca o sinal do determinante). Faço a troca
R_1 \leftrightarrow R_2,
portanto teremos um fator -1 a ser aplicado no final. A matriz fica:
\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right].
Observação: até aqui multiplicamos \det por -1 por causa da troca de linhas.

Passo 4

Elimino abaixo do pivô 1 em (1,1). Uso a operação
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculemos R_2:
R_2 = (2,1,3,1) - 2\cdot(1,0,1,1) = (2-2,\,1-0,\,3-2,\,1-2) = (0,1,1,-1).
Linhas R_3 e R_4 já têm zero na primeira coluna, então nada a fazer nelas neste passo. A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right].
A operação R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 não altera o determinante.

Passo 5

Agora uso o pivô 1 em (2,2) para zerar as entradas abaixo na coluna 2.
Faço primeiro
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Calculemos:
R_3 = (0,2,1,0) - 2\cdot(0,1,1,-1) = (0,\,2-2,\,1-2,\,0-2(-1)) = (0,0,-1,2).
Em seguida
R_4 \leftarrow R_4 - 1\cdot R_2.
Calculemos:
R_4 = (0,1,2,3) - (0,1,1,-1) = (0,0,1,4).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right].
Novamente, essas operações (somar múltiplos de uma linha em outra) não alteram o determinante.

Passo 6

Agora o pivô em (3,3) é -1. Uso-o para zerar a entrada abaixo em (4,3). Faço
R_4 \leftarrow R_4 + R_3,
porque R_3=(0,0,-1,2) e R_4=(0,0,1,4), então:
R_4 = (0,0,1,4) + (0,0,-1,2) = (0,0,0,6).
A matriz triangular superior final é
\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array}\right].
Esta última operação também não altera o determinante.

Passo 7

Agora aplicamos as regras finais para obter \det(A).
Para a matriz triangular obtida U, o determinante é o produto da diagonal:
\det(U)=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 6 = -6.
Lembrete: no Passo 3 trocamos R_1 e R_2, o que multiplicou o determinante por -1. Assim, voltando ao determinante original de A,
\det(A) = (-1)\cdot \det(U) = (-1)\cdot(-6) = 6.

Resposta

6

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