Calcule o determinante de:
A=(cccc 1 & 0 & 2 & -1 2 & 1 & 3 & -2 0 & 0 & 2 & 3 1 & -1 & 0 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante da matriz . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com determinantes de matrizes. Para isso, vamos precisar usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para matrizes maiores que 3x3. Vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 0 & 2 & -1 2 & 1 & 3 & -2 0 & 0 & 2 & 3 1 & -1 & 0 & 2 para termos clareza:

Passo 3

Como calcular determinante de uma matriz 4x4 diretamente pode ser trabalhoso, vamos simplificar usando a expansão por cofatores. Vamos expandir a primeira linha para facilitar.

Passo 4

A expansão por cofatores na primeira linha é dada por:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. (como esse termo é zero, podemos ignorar este item)

Passo 6

Agora, precisamos calcular os cofatores , e .

Passo 7

Para C11 = (-1)^1+1 cdot det 1 & 3 & -2 0 & 2 & 3 -1 & 0 & 2 = 1 cdot det 1 & 3 & -2 0 & 2 & 3 -1 & 0 & 2 , removemos a primeira linha e primeira coluna:

Passo 8

Calculando 1 & 3 & -2 0 & 2 & 3 -1 & 0 & 2 :
Usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos expandir pela primeira coluna.
1 cdot det 2 & 3 0 & 2 - 0 + (-1) cdot det 3 & -2 2 & 3
Calculando os menores:
det 2 & 3 0 & 2 = (2)(2) - (3)(0) = 4
det 3 & -2 2 & 3 = (3)(3) - (-2)(2) = 9 + 4 = 13
Então:
1 cdot 4 + (-1) cdot 13 = 4 - 13 = -9
Portanto, .

Passo 9

Agora, calculamos C13 = (-1)^1+3 cdot det 2 & 1 & -2 0 & 0 & 3 1 & -1 & 2 = (-1)^4 cdot det 2 & 1 & -2 0 & 0 & 3 1 & -1 & 2 = 1 cdot det 2 & 1 & -2 0 & 0 & 3 1 & -1 & 2 :
0 - 0 + 3 cdot det 2 & 1 1 & -1 = 3 cdot ((2)(-1) - (1)(1)) = 3 cdot (-2 -1) = 3 cdot (-3) = -9
Calculando o determinante dessa matriz 3x3:
Expandindo pela segunda linha que tem zeros:
Então, .

Passo 10

Por último, calculamos C14 = (-1)^1+4 cdot det 2 & 1 & 3 0 & 0 & 2 1 & -1 & 0 = (-1)^5 cdot det 2 & 1 & 3 0 & 0 & 2 1 & -1 & 0 = -1 cdot det 2 & 1 & 3 0 & 0 & 2 1 & -1 & 0 :
0 - 0 + 2 cdot det 2 & 1 1 & -1 = 2 cdot ((2)(-1) - (1)(1)) = 2 cdot (-2 -1) = 2 cdot (-3) = -6
Calculando o determinante dessa matriz 3x3:
Expandindo pela segunda linha que tem zeros:
Então, .

Passo 11

Agora, substituímos os cofatores na fórmula inicial:
det(A) = (1)(-9) + (0)(qualquer valor) + (2)(-9) + (-1)(6) = -9 + 0 - 18 -6 = -33

Resposta

O determinante da matriz é .

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