Calcule o determinante da matriz M.
M=(rrrrr -2 & 4 & 6 & 0 & -1 -1 & 2 & 0 & 6 & -2 0 & -6 & -4 & 0 & 1 3 & 4 & -5 & 0 & -1 -3 & 0 & -2 & 3 & 0 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o determinante da matriz M que é uma matriz 5 times 5 . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de redução de matrizes, como troca de linhas e eliminação de termos, para facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre as propriedades dessa matriz, como se ela é invertível. Para matrizes maiores que 2 times 2 , calcular o determinante diretamente pode ser complicado, então vamos simplificar a matriz usando operações de linha.

Passo 3

O próximo passo é tornar a matriz triangular superior, ou seja, deixar todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero. Isso facilita muito o cálculo do determinante, porque o determinante de uma matriz triangular é apenas o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 4

Vamos começar com a matriz M :
M = -2 & 4 & 6 & 0 & -1 -1 & 2 & 0 & 6 & -2 0 & -6 & -4 & 0 & 1 3 & 4 & -5 & 0 & -1 -3 & 0 & -2 & 3 & 0
Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo da primeira posição da primeira coluna.

Passo 5

Vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Para a segunda linha ( L2 ):
L2 = L2 - ( -1-2 ) L1 = L2 - 0.5 L1
Calculando:
& -1 - (-2 times 0.5) = -1 + 1 = 0 & 2 - (4 times 0.5) = 2 - 2 = 0 & 0 - (6 times 0.5) = 0 - 3 = -3 & 6 - (0 times 0.5) = 6 - 0 = 6 & -2 - (-1 times 0.5) = -2 + 0.5 = -1.5
Então, a segunda linha fica:
(0, 0, -3, 6, -1.5)

Passo 6

Para a quarta linha ( L4 ):
L4 = L4 - ( 3-2 ) L1 = L4 + 1.5 L1
Calculando:
& 3 + (-2 times 1.5) = 3 - 3 = 0 & 4 + (4 times 1.5) = 4 + 6 = 10 & -5 + (6 times 1.5) = -5 + 9 = 4 & 0 + (0 times 1.5) = 0 + 0 = 0 & -1 + (-1 times 1.5) = -1 - 1.5 = -2.5
Então, a quarta linha fica:
(0, 10, 4, 0, -2.5)

Passo 7

Para a quinta linha ( L5 ):
L5 = L5 - ( -3-2 ) L1 = L5 - 1.5 L1
Calculando:
& -3 - (-2 times 1.5) = -3 + 3 = 0 & 0 - (4 times 1.5) = 0 - 6 = -6 & -2 - (6 times 1.5) = -2 - 9 = -11 & 3 - (0 times 1.5) = 3 - 0 = 3 & 0 - (-1 times 1.5) = 0 + 1.5 = 1.5
Então, a quinta linha fica:
(0, -6, -11, 3, 1.5)

Passo 8

Agora, nossa matriz fica assim:
-2 & 4 & 6 & 0 & -1 0 & 0 & -3 & 6 & -1.5 0 & -6 & -4 & 0 & 1 0 & 10 & 4 & 0 & -2.5 0 & -6 & -11 & 3 & 1.5
O próximo passo é usar a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela na segunda coluna.

Passo 9

Observando a segunda linha, o primeiro elemento não é ideal para eliminação. Então, vamos trocar a segunda linha com uma das linhas abaixo que tenha um elemento não nulo na segunda coluna. Vamos trocar L2 com L3 .
Após a troca, a matriz fica:
-2 & 4 & 6 & 0 & -1 0 & -6 & -4 & 0 & 1 0 & 0 & -3 & 6 & -1.5 0 & 10 & 4 & 0 & -2.5 0 & -6 & -11 & 3 & 1.5

Passo 10

Agora, vamos usar a nova segunda linha ( L2 ) para eliminar os elementos abaixo dela na segunda coluna.
Para a quarta linha ( L4 ):
L4 = L4 - ( 10-6 ) L2 = L4 + 53 L2
Calculando:
& 0 + (0 times 53) = 0 & 10 + (-6 times 53) = 10 - 10 = 0 & 4 + (-4 times 53) = 4 - 203 = 123 - 203 = -83 & 0 + (0 times 53) = 0 & -2.5 + (1 times 53) = -2.5 + 53 = -52 + 53 = -156 + 106 = -56
Então, a quarta linha fica:
(0, 0, -83, 0, -56)
Para a quinta linha ( L5 ):
L5 = L5 - ( -6-6 ) L2 = L5 - 1 times L2
Calculando:
& 0 - (0 times 1) = 0 & -6 - (-6 times 1) = -6 + 6 = 0 & -11 - (-4 times 1) = -11 + 4 = -7 & 3 - (0 times 1) = 3 - 0 = 3 & 1.5 - (1 times 1) = 1.5 - 1 = 0.5
Então, a quinta linha fica:
(0, 0, -7, 3, 0.5)

Passo 11

Agora, nossa matriz está assim:
-2 & 4 & 6 & 0 & -1 0 & -6 & -4 & 0 & 1 0 & 0 & -3 & 6 & -1.5 0 & 0 & -83 & 0 & -56 0 & 0 & -7 & 3 & 0.5
Vamos continuar reduzindo para triangular superior, usando a terceira linha.

Passo 12

Usando a terceira linha ( L3 ), vamos eliminar os elementos abaixo dela na terceira coluna.
Para a quarta linha ( L4 ):
L4 = L4 - ( -83-3 ) L3 = L4 - 89 L3
Calculando:
& 0 - (0 times 89) = 0 & 0 - (0 times 89) = 0 & -83 - (-3 times 89) = -83 + 249 = -83 + 83 = 0 & 0 - (6 times 89) = 0 - 489 = -163 & -56 - (-1.5 times 89) = -56 + 129 = -56 + 43 = -56 + 86 = 36 = 12
Então, a quarta linha fica:
(0, 0, 0, -163, 12)
Para a quinta linha ( L5 ):
L5 = L5 - ( -7-3 ) L3 = L5 - 73 L3
Calculando:
& 0 - (0 times 73) = 0 & 0 - (0 times 73) = 0 & -7 - (-3 times 73) = -7 + 7 = 0 & 3 - (6 times 73) = 3 - 14 = -11 & 0.5 - (-1.5 times 73) = 0.5 + 3.5 = 4
Então, a quinta linha fica:
(0, 0, 0, -11, 4)

Passo 13

Agora, a matriz está:
-2 & 4 & 6 & 0 & -1 0 & -6 & -4 & 0 & 1 0 & 0 & -3 & 6 & -1.5 0 & 0 & 0 & -163 & 12 0 & 0 & 0 & -11 & 4
Por fim, vamos usar a quarta linha para eliminar o elemento abaixo dela na quarta coluna.

Passo 14

Usando a quarta linha ( L4 ), vamos eliminar o elemento abaixo dela na quarta coluna.
Para a quinta linha ( L5 ):
L5 = L5 - ( -11-163 ) L4 = L5 - ( 3316 ) L4
Calculando:
& 0 - (0 times 3316) = 0 & 0 - (0 times 3316) = 0 & 0 - (0 times 3316) = 0 & -11 - (-163 times 3316) = -11 + 11 = 0 & 4 - (12 times 3316) = 4 - 3332 = 12832 - 3332 = 9532
Então, a quinta linha fica:
(0, 0, 0, 0, 9532)

Passo 15

Agora, nossa matriz está na forma triangular superior:
-2 & 4 & 6 & 0 & -1 0 & -6 & -4 & 0 & 1 0 & 0 & -3 & 6 & -1.5 0 & 0 & 0 & -163 & 12 0 & 0 & 0 & 0 & 9532
Para encontrar o determinante, basta multiplicar os elementos da diagonal principal:
det(M) = (-2) times (-6) times (-3) times (-163) times (9532)

Passo 16

Vamos calcular passo a passo:
& (-2) times (-6) = 12 & 12 times (-3) = -36 & -36 times (-163) = 192 & 192 times (9532) = 192 div 32 = 6 & 6 times 95 = 570

Resposta

O determinante da matriz M é 570 .

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