Resolva o sistema de equações lineares A x=b utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan ou de eliminação gaussiana com retrosubstituição.
A=(rrrr8 & -6 & 1 & 0 1 & -2 & 0 & 2 8 & -4 & 0 & 6 0 & 0 & -12 & 10) b=(r38 -2 47 105)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares A x = b usando o método de eliminação de Gauss. Esse método ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores de x1, x2, x3 e x4. Para isso, vamos manipular as linhas da matriz A e o vetor b de forma que consigamos isolar cada variável.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma aumentada, juntando a matriz A com o vetor b:
[cccc|c 8 & -6 & 1 & 0 & 38 1 & -2 & 0 & 2 & -2 8 & -4 & 0 & 6 & 47 0 & 0 & -12 & 10 & 105 ]

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos sejam zeros. Vamos começar usando a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.

Passo 4

Para zerar o elemento a21 (que é 1), podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 18 da primeira linha:
L2 = L2 - 18L1
Calculando:
L2 = [1 - 18times8, -2 - 18times(-6), 0 - 18times1, 2 - 18times0, -2 - 18times38]
L2 = [0, -2 + 0.75, 0 - 0.125, 2 - 0, -2 - 4.75]
L2 = [0, -1.25, -0.125, 2, -6.75]

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para a terceira linha, zerando o elemento a31 (que também é 8). Substituímos a terceira linha pela terceira linha menos a primeira linha:
L3 = L3 - L1
Calculando:
L3 = [8 - 8, -4 - (-6), 0 - 1, 6 - 0, 47 - 38] = [0, 2, -1, 6, 9]

Passo 6

A quarta linha já tem um zero na primeira coluna, então não precisamos alterar. Agora nossa matriz aumentada fica assim:
[cccc|c 8 & -6 & 1 & 0 & 38 0 & -1.25 & -0.125 & 2 & -6.75 0 & 2 & -1 & 6 & 9 0 & 0 & -12 & 10 & 105 ]

Passo 7

Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos zerar o elemento a32 (que é 2). Para isso, usamos a segunda linha para eliminar esse elemento na terceira linha. Primeiro, multiplicamos a segunda linha por 85 para que o coeficiente de x2 seja 2:
L2 times 85 = [0, -2, -0.2, 3.2, -10.8]
Agora, substituímos a terceira linha pela terceira linha mais essa nova segunda linha:
L3 = L3 + (L2 times 85) = [0, 0, -1.2, 9.2, -1.8]

Passo 8

Atualizamos a matriz aumentada:
[cccc|c 8 & -6 & 1 & 0 & 38 0 & -1.25 & -0.125 & 2 & -6.75 0 & 0 & -1.2 & 9.2 & -1.8 0 & 0 & -12 & 10 & 105 ]

Passo 9

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos simplificar o elemento a43 (que é -12). Podemos usar a terceira linha para eliminar esse elemento na quarta linha. Primeiro, multiplicamos a terceira linha por 10 para facilitar:
L3 times 10 = [0, 0, -12, 92, -18]
Substituímos a quarta linha pela quarta linha menos essa nova terceira linha:
L4 = L4 - (L3 times 10) = [0, 0, 0, 10 - 92, 105 - (-18)] = [0, 0, 0, -82, 123]

Passo 10

Nossa matriz agora está na forma:
[cccc|c 8 & -6 & 1 & 0 & 38 0 & -1.25 & -0.125 & 2 & -6.75 0 & 0 & -1.2 & 9.2 & -1.8 0 & 0 & 0 & -82 & 123 ]

Passo 11

Agora que temos a matriz triangular superior, podemos resolver as equações de baixo para cima (isso é chamado de retro-substituição). Começamos pela última equação:
-82x4 = 123 implies x4 = 123-82 = -1.5

Passo 12

Substituímos x4 na terceira equação:
-1.2x3 + 9.2(-1.5) = -1.8 implies -1.2x3 - 13.8 = -1.8 implies -1.2x3 = 12 implies x3 = -10

Passo 13

Agora, substituímos x3 e x4 na segunda equação:
-1.25x2 - 0.125(-10) + 2(-1.5) = -6.75 implies -1.25x2 + 1.25 - 3 = -6.75 implies -1.25x2 - 1.75 = -6.75
-1.25x2 = -5 implies x2 = 4

Passo 14

Por fim, substituímos x2, x3 e x4 na primeira equação:
8x1 - 6(4) + 1(-10) + 0(-1.5) = 38 implies 8x1 - 24 -10 = 38 implies 8x1 - 34 = 38
8x1 = 72 implies x1 = 9

Resposta

A solução do sistema é:
x = x1 x2 x3 x4 = 9 4 -10 -1.5

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