Resolva o sistema de equações lineares utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan ou de eliminação gaussiana com retrosubstituição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares A x = b usando o método de eliminação de Gauss. Esse método ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores de x1, x2, x3 e x4. Para isso, vamos manipular as linhas da matriz A e o vetor b de forma que consigamos isolar cada variável.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema na forma aumentada, juntando a matriz A com o vetor b:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos sejam zeros. Vamos começar usando a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Passo 4
Para zerar o elemento a21 (que é 1), podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 18 da primeira linha:
Agora, vamos fazer o mesmo para a terceira linha, zerando o elemento a31 (que também é 8). Substituímos a terceira linha pela terceira linha menos a primeira linha:
Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos zerar o elemento a32 (que é 2). Para isso, usamos a segunda linha para eliminar esse elemento na terceira linha. Primeiro, multiplicamos a segunda linha por 85 para que o coeficiente de x2 seja 2:
L2 times 85 = [0, -2, -0.2, 3.2, -10.8]
Agora, substituímos a terceira linha pela terceira linha mais essa nova segunda linha:
Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos simplificar o elemento a43 (que é -12). Podemos usar a terceira linha para eliminar esse elemento na quarta linha. Primeiro, multiplicamos a terceira linha por 10 para facilitar:
L3 times 10 = [0, 0, -12, 92, -18]
Substituímos a quarta linha pela quarta linha menos essa nova terceira linha:
Agora que temos a matriz triangular superior, podemos resolver as equações de baixo para cima (isso é chamado de retro-substituição). Começamos pela última equação: